探索量子现象，须进入希尔伯特空间抽象领域。量子力学不描述普通物体在普通空间飞驰，而是预测其未来可能状态；追踪这些可能需盯住向量箭头。圆周理论物理研究所（Perimeter Institute for Theoretical Physics）的卢西恩·哈迪（Lucien Hardy）说，箭头不指向位置，而指向可能性空间中的方向。此即希尔伯特空间，是量子物理主要舞台。早期量子先驱起初未觉刻画原子的数学已脱离现实，直到约翰（John）。

要探索量子现象，我们必须离开熟悉的世界，进入希尔伯特空间这个抽象领域。

量子力学的核心有几条如何使用该理论的神圣规则。首要的一条大致是：不可把对象想成此刻正在普通空间中穿行的普通物体。相反，量子力学以极其精细的细节，预测一个物体未来所有可能出现的方式。要探索这些可能的未来，必须追踪一种完全不同的数学对象——一种称为向量的箭头，它定向于一个广阔而陌生的领域。

这些箭头并不指向位置。“这是一种比那抽象得多的空间，”加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所的物理学家 Lucien Hardy 说。它们“其实是指向可能性空间中的某个方向”。

这个可能性空间叫做希尔伯特空间，它是量子物理学的主要舞台。

早期的量子先驱起初并没有意识到，那套出色描述原子行为的神秘数学，已经把现实世界抛在了身后。要有远见的数学物理学家 John von Neumann 才把量子世界认识并定义为希尔伯特空间。他做到这一点后，探索希尔伯特空间的方方面面，将引导物理学家对量子物理学产生更深刻、更统一的理解。

von Neumann 的量子物理学第一诫是如何产生的，又该如何理解，下面就来说明。

什么是希尔伯特空间？

von Neumann 的戒律（或者说公理），是他对 1920 年代接连出现的两种量子力学形式的理解方式。1925 年首先出现的是 Werner Heisenberg 的“矩阵力学”。它用难以理解的表格，在后来的表述中用无穷无尽的数字塔，来计算绕原子运动的电子跃迁到更高或更低轨道的几率。第二年，Erwin Schrödinger 提出他的“波动力学”。它用波来追踪，例如，粒子在空间中某一位置被发现的概率。尽管这两位物理学家唤起的图景看起来完全不同，它们却给出完全相同的预测。Heisenberg 和 Schrödinger 提出了同一个理论的两种截然不同的化身。但那个理论到底是什么？

这个问题让著名数学家 David Hilbert 着迷，他一生中花了很多时间，致力于把物理学重建在清晰公理的坚实基础之上。他在 1920 年代中期让 von Neumann 开始思考这个问题。1927 年，这位 23 岁的天才——在 Paul Dirac 的见解基础上——以独立作者身份写了三篇论文，解决了这个问题。

数学家 David Hilbert 曾寻求一种能统一不同形式量子力学的数学结构。

MacTutor

“具体的想法是 von Neumann 的，但灵感——为什么要公理化、为了什么——是他从 Hilbert 那里得来的，”数学史学家 Leo Corry 说。

这些论文列出了量子力学的规则，仔细定义了理论的核心对象及其行为。von Neumann 表明，Heisenberg 的数字塔和 Schrödinger 的波是同一个实体的映象，就像 0.5 和 ½ 在数轴上表示同一个点。它们都代表着量子力学的主角：量子态。

万物皆有态。硬币可以是正面或反面。落地钟的摆锤在摆动时可以处于任意多个位置。大部分物理学归结起来，就是抓住一个物体的状态并预测它如何变化。

von Neumann 的量子规则让状态的概念变得复杂。在你观测一个量子对象之前，它并没有一组固定的属性，比如一个特定的位置。相反，它具有量子力学特有的一系列可能属性的组合——一种“量子叠加”。叠加例如把粒子所有可能最终出现的位置组合在一起。这些可能性可以是精确而有信息量的；也许你有 99% 的几率在左边找到粒子，1% 的几率在右边找到它。你知道该怎么下注，但在真正查看之前，无法确定自己是否赢了。

von Neumann 把量子态表现为一种叫做向量的数学箭头。这个箭头指向某个方向，穿过一个囊括任何量子对象所有可能未来的空间——也就是希尔伯特空间。

想象一个具有三种可能状态的量子交通灯——红、黄、绿。它的箭头存在于一个三维希尔伯特空间中，三条轴代表三种可能的未来颜色。在被观测之前，灯并没有颜色，而是可能颜色的混合。因此它的箭头指向空间的中心区域。箭头与某一轴（比如红轴）越接近，灯发出红光的可能性就越大。

从电子到星系，任何物体的状态都可以用这样一个向量来捕捉，它在某个希尔伯特空间中指向某个方向。这就是 von Neumann 的量子力学第一规则。

希尔伯特空间中会发生什么？

箭头在希尔伯特空间中以两种方式之一运动。von Neumann 的其他戒律规定了具体方式。

第一种对应观测前发生的情况。当世界影响该物体、改变其状态时，箭头在希尔伯特空间中平滑转动。它可能更靠近绿轴，这会让我们的交通灯更可能被测得为绿色，或者更靠近红轴或黄轴。关键在于，这一切都是平滑且可预测的。

然后，如果你真的观测这个系统，向量会瞬间、随机地跳到红、黄或绿其中一条轴上。它与某条轴越对齐，就越可能跳到那条轴而不是其他轴，但最终结果不可预测。假设它跳到绿色。你会观测到绿灯，而且此后再次测量时它有 100% 的几率仍是绿色，因为箭头已经完全对齐绿轴。量子叠加不再存在。

希尔伯特空间具有哪些性质？

一个物体拥有的可能未来越多，它的希尔伯特空间就越大。有两种可能未来的类硬币粒子就是一个“qubit”（量子比特），是量子计算机的计算基石。它有一个二维希尔伯特空间。我们的三色交通灯有一个三维希尔伯特空间。但这还只是开始。一个自由漂浮的粒子可能出现在宇宙中的任何位置，因此它的希尔伯特空间必须跨越无限多个维度。

根据 von Neumann 的规则，这种大小——无论是二维还是无限维——是希尔伯特空间唯一的基本特征。轴是我们任意想象出来的，并不是空间固有的。

以电子为例。它有一个状态、一个箭头，指向一个巨大的希尔伯特空间。它的希尔伯特空间覆盖所有可能的测量——能量、位置、动量等等。如果你想知道电子可能在哪里，可以用代表可能位置的轴来标记这个空间。如果你想知道粒子可能朝哪里运动，就换一组代表可能动量的轴。无论你打算做哪种测量，底层的希尔伯特空间都保持不变。

这种按我们意愿分割希尔伯特空间的自由，正是 Heisenberg 和 Schrödinger 能提出同一理论两个不同版本的原因。Heisenberg 的图景本质上是放入轴并让它们绕着向量旋转，而 Schrödinger 的图景正好相反：它放入一组固定的轴，让向量相对于它们旋转。它们是同一批箭头、同一个希尔伯特空间上两种完全不同的数学视角。

在 1927 年第一篇论文中，von Neumann 列出了定义这种空间的两个数学标准。第一，它必须是“完备的”（complete），不能缺失任何区域或点。第二，你必须能计算状态与轴之间的对齐程度；可以想象一束光垂直照在箭头上，使它在某条轴上投下影子。（影子越长，箭头与该轴越对齐。）这个空间必须允许这种运算，即内积（inner product）。无论大小或来源如何，任何具有这两个特征的空间都是希尔伯特空间。

“这是创造我们所谓希尔伯特空间量子力学的重要一步，”伦敦政治经济学院的物理学哲学家 Miklós Rédei 说，“它是数学推广或抽象如何发生的一个美妙例子。”

von Neumann 把这些抽象空间称为希尔伯特空间，因为他的导师 Hilbert 在 1900 年代初曾是第一个探索无限维具体空间的数学家。Hilbert 的工作依赖于这些空间是完备的并且具有内积，但在他的门生把它们归为一类之前，他并没有把它们看作更一般空间类别的例子。这位年长的数学家发现自己的名字与这个新数学结构联系在一起时，也许曾感到惊讶。“von Neumann 博士，我真的很想知道，这些希尔伯特空间究竟是什么，”据说 Hilbert 在 1929 年的一次讲座中问道。

希尔伯特空间是真实的，还是仅仅是一种抽象？

量子力学诞生一个世纪后，该理论把物理学家置于一个尴尬的境地。我们生活的世界里，物体在物理空间的三维中运动时改变位置。但我们最基本的理论却发生在另一个地方，发生在 von Neumann 那个巨大的可能性领域中。这对我们世界的实在性，或者对希尔伯特空间的实在性，意味着什么？

对约翰斯·霍普金斯大学的哲学家兼物理学家 Sean Carroll 来说，信息很明确。他在 2022 年的一篇论文中主张，如果量子力学是自然的基本理论，那么希尔伯特空间就应被视为实在的基本舞台。他的一条研究线索，试图从那个令人迷失的希尔伯特空间中提炼出我们熟悉的世界；该空间囊括了宇宙所有可能存在的方式。

其他物理学家则持更实用的立场。普林斯顿大学的物理学家 Jonathan Sorce 说，希尔伯特空间是一种便利的数学构造，对描述许多量子系统极为有用——但并非全部。他属于一个研究者群体，他们正在寻找能把空间和时间的构造作为量子对象来描述的数学构造。这样的理论是回答诸如黑洞中心发生了什么等大问题的先决条件。

提出这些问题的物理学家最近把注意力转向一个甚至更抽象的空间，它似乎特别适合他们的目的。这类空间由你可对希尔伯特空间做的事情组成，比如用不同方式切分它，或把一个切片旋转成另一个。在这个舞台上，他们发现黑洞似乎不那么神秘了。

这种“元空间”如今被称为 von Neumann 代数。von Neumann 本人帮助发展了它，作为对希尔伯特空间中某些令他不安的逻辑不一致性的潜在补救。“我想做一个可能显得不道德的坦白：我不再相信希尔伯特空间了，”他在 1935 年的一封信中写道，当时他正在探索代数的优点。

至于 Sorce，他并不认同 von Neumann 那种“一个空间统治一切”的愿望。他乐于使用最适合自己所研究量子对象的任何数学构造。通常是希尔伯特空间。有时是 von Neumann 代数。偶尔甚至可能是数学家在过去一个世纪里造出的许多其他空间之一。

“这些东西有一整个动物园，”他说。

讨论气氛轻松但主轴清楚：多数人提醒不能把希尔伯特空间里的数学状态直接当成物理上什么都可能发生，也有人拿希尔伯特本人开涮，消解对这一术语的敬畏。少数人则把分歧推向超决定论，认为表观随机背后可能有更深层的决定论关联。

认为希尔伯特空间并不等于物理上一切皆可能

• 希尔伯特空间更像是数学上可设想状态的“潜能”集合，而不是现实中全部都能发生；就像 0 到 1 之间有无穷多个不同实数，却不会因为取遍这些数就冒出 3。实际物理发生还要满足定律与守恒约束，可观测结果是被自然规律筛选后的可能。即便“所有可能性的空间”这种说法，也被解释成只是为问题结果提供结构，帮助理论和实验去探索自然，而不是空间里每一项都真实可能。（较多人） > 并非所有事情都可能，只有物理学定律允许的事情才可能，比如能量守恒必须被遵守（@dbvdh）

认为希尔伯特空间只是数学抽象而非物理实在

• 希尔伯特空间是用来组织问题和预测结果的模型与地图；它很有用，但不能混同于被它描述的物理世界本身，探索这个空间也不等于穷尽自然。（较多人） > 希尔伯特空间只是工具、抽象和地图，而地图不等于疆域（@rootedbox）

认为量子可能性背后可能是超决定论式的全关联

• 在超决定论视角下，量子噪声与“哪条路径”的信息被认为全部相关；若成立，希尔伯特空间里看似敞开的可能性只是表观，背后仍有深层关联。（少数人） > 超决定论下，量子噪声与“哪条路径”的信息是全部相关的（@inshard）

有价值的补充

• 冷知识：冯·诺依曼曾坦言自己“不再绝对相信希尔伯特空间”，提醒别把这套形式体系当成不可动摇的终极真理（@rozgo）。