1980年，英特尔（Intel）推出英特尔8087（Intel 8087）芯片，让国际商业机器公司（IBM）的IBM个人计算机（IBM PC）等系统的浮点运算大幅加快。8087虽支持正切、平方根和对数等高级运算，重点却在加法与减法。相比8086处理器，加法几乎快100倍，复杂运算提升更多。为解释浮点加减法及无穷大等特殊值如何实现，我用凿子打开芯片并借显微镜观察：中央的微码ROM含1648条微指令，下半部分数据通路对80位值执行浮点计算。
正文
1980 年，英特尔推出 8087 芯片，让 IBM PC 等系统的浮点运算大幅提速。尽管 8087 支持正切、平方根、对数等高级运算，但这里只关注基础算术：加法和减法。相比 8086 处理器，8087 的加法速度快了近 100 倍，复杂运算提升更多。下面通过 8087 的微码和电路，说明浮点加减法的具体实现，包括无穷大等各种特殊值的处理。
为了研究 8087 的电路，我用凿子打开了一块芯片的盖子，用显微镜拍出下面的高分辨率图像。微码 ROM 是芯片中央的大块矩形区域，存放着控制芯片的 1648 条微指令。芯片下半部分（红框）是数据通路，即对 80 位数值执行浮点计算的电路。
放大数据通路可以看到加减法所需的功能模块。核心部件是位于中央的整数加法器，它从 B 寄存器接收一个操作数，另一个操作数来自临时寄存器或堆栈寄存器等部件，结果存入和寄存器（sum register）。移位器可以对数值左移或右移任意位，它在芯片上占用很大面积，因为电路支持快速移位。浮点运算大量使用移位器来对齐数值；前导零电路统计数值左侧的零位或零字节数量，以便把它们移走。指数转换器处理指数，检测上溢和下溢。这些专用电路帮助 8087 实现了高性能。
多数计算机用整数作为数字的基本表示，但很多应用需要带小数部分的数，例如 1.23。而且整数范围很有限：32 位整数大约只能表示 -20 亿到 20 亿。为解决这些问题，计算机通常实现浮点数，在极大范围内提供小数。
浮点数通常表示为 符号 × 有效数 × 2 指数。有效数是形如 1.bbb… 的二进制数：开头一个 1，接着二进制小数点（类似十进制小数点）及其余位。二进制小数部分的位是 2 的负幂：2^-1、2^-2 等。所以二进制 1.1 等于 1 + 1/2，即十进制 1.5；二进制 1.0011 等于 1 + 1/8 + 1/16，即 1.1875。指数让数值突破有效数的有限范围，例如二进制 1.1 × 2^8 是 384。指数更大时，浮点数覆盖范围极大，即便 32 位短浮点数也能覆盖超过 10^-36 到 10^38。
浮点加减法比整数运算复杂。相加（或相减）前必须对齐二进制小数点，就像十进制数要对齐小数点一样。运算后还要调整结果的指数，把有效数规格化，使其以 1 开头。
上图演示了一次简单的浮点加法：13.5+3.5。前两行是两个操作数表示为指数和有效数。两个操作数都已规格化，最左位是 1。相加前，第二个操作数必须右移两位来对齐，使指数相等（本例指数差为 2）。随后对已对齐的有效数做整数加法。本例相加产生进位，即左侧多出一个位。结果必须右移一位规格化，并把指数加 1。
浮点减法类似，但更复杂。结果可以是正、负或零，也可能比操作数小几个数量级。下图是基本减法 8-7.5。和加法一样，第二个操作数右移使指数匹配（即二进制小数点对齐）。两个有效数用整数减法相减。结果通过左移规格化，使最高位为 1。与加法不同，规格化可能需要很大的移位；本例左移四位，指数减 4 得到结果。
减法的一个复杂之处在于结果可能为负。这时把有效数变为正，并翻转结果的符号。减法也可能得到零，此时无法规格化，而是根据情况返回特殊值 +0 或 -0。
8087 的相关硬件细节
本节解释 8087 的一些特性，它们在加减法微码实现中起重要作用。8087 支持多种数据类型，但内部用 80 位“临时实数”（temporary real）格式存数。临时实数包含 1 位符号、15 位指数和 64 位有效数。15 位指数允许大到超过 10^4932 的荒谬数值，64 位有效数支持极高精度的数。指数存储时加了 16383 的偏置，因此存储指数总是正数，即使真实指数为负。例如指数 1 存为 0x4000，指数 -16 存为 0x3fef。
8087 有八个内部寄存器，组织成堆栈。程序员用这些寄存器给 8087 编程，每个寄存器存一个 80 位浮点数。为优化性能，寄存器堆栈中每个数值还带有标签：zero、valid、special 或 empty。零标记为 zero；普通浮点数值标记为 valid；若是无穷大、非数（NaN）或非规格化值，则标记为 special；empty 表示寄存器没有存值，用于检测堆栈下溢（读空寄存器）或上溢（存入非空寄存器）。
8087 还有内部使用的临时寄存器。tmpA 和 tmpB 是 80 位寄存器，各带两个标签位。tmpC 不同：它没有符号、指数或标签，有效数为 68 位；tmpC 多一位防止溢出，还有三个低位用于舍入，称为 guard、round 和 sticky。
微码中，每条 16 位微指令执行一个底层操作。许多操作在寄存器之间搬运数据，其他操作提供条件跳转、子程序调用和返回。
8087 处理的核心是 69 位整数加法器（我之前讨论过）。加法器超过 64 位，是因为有三个舍入位和几个用于溢出与乘法的高位。整数加法需要两条微指令：第一条指定相加的第一个操作数，并选择进位、舍入等选项（减法时有一个选项对第二个操作数取补）。加法器的第二个操作数总是来自 B 寄存器，注意它与 tmpB 无关。相加结果放入特殊的和寄存器。第二条微指令（可能隔很多条指令）把结果从和寄存器送到目的地。
浮点运算还大量使用位移位器，它对 68 位数值左移或右移任意位（我此前写过）。和加法器一样，移位操作也需两条微指令：第一条把数值送入移位器并配置方向和位数，第二条把结果从移位器送到目的地。
8087 的加减法微码
8087 几乎所有操作都用微码实现。基本数学运算（加、减、乘、除）先执行同一段微码（十进制地址 #0001），把两个操作数送入临时寄存器 tmpA 和 tmpB。操作数通常来自堆栈寄存器，也可来自内存，但这里不讨论内存情况。
接着，微码通过微子程序调用处理具体操作类型。8087 微码引擎有一个微型 ROM，存放跳转或子程序调用的目标地址表。目标 0 是特殊的，它为乘法、除法或加/减法准备了三个不同地址（由 ROM 中的特殊电路实现。设计芯片时，如果想做这种奇怪的优化，是可以的）。
加减法微子程序从地址 #0232 开始，微码如下。控制流很复杂，所以我在注释里放了流程图。微码先处理 0+0 或 0-0 的零情况，然后相减两个操作数的指数。如果第一个操作数指数较小（结果为负），就交换操作数，使指数较大的操作数在前。（8087 用“符号锁存器”跟踪结果符号；如果交换操作数会改变符号，则在 #0244 翻转锁存器。）
0232 jmp #0236 if not tmpA:tag ZERO 检查 0+0
0233 jmp #0236 if not tmpB:tag ZERO
0234 return if not unsigned sub 0+0 同号
0235 jmp #0263 处理 0+0 异号
0236 tmpA sign -> sign latch 非零：tmpA 符号送入符号锁存器
0237 tmpB:exp -> Breg
0238 adder: tmpA:exp - Breg cin=1 比较指数
0239 jmp #0245 if adder pos
0240 sumreg:frac -> Breg 若 tmpB 指数更大则交换
0241 adder: zero - Breg cin=1
0242 xchg tmp
0243 jmp #0245 if not unsigned sub
0244 !sign latch -> sign latch 若交换影响符号则翻转符号
0245 xchg tmp 继续
0246 shift zero R 0 bytes, 0 bits 零
0247 call CREATE_DENORM 移位 tmpB 以匹配指数
0248 xchg tmp
0249 zero -> tmpB:exp 把指数调整存入 tmpB:exp
0250 jmp #0269 if not unsigned sub 是基础加法吗？
0251 adder: tmpA:frac - Breg cin=1, roundmode tmpA - tmpB
0252 jmp #0256 if adder pos
0253 sumreg:frac,rnd -> Breg/rnd 有效数取负
0254 adder: zero - Breg cin=1, roundmode
0255 !sign latch -> sign latch 翻转符号
0256 jmp #0275 if Sum register is zero 若结果为零则跳转
0257 shift R -> tmpB:frac 原 tmpB，来自 CREATE_DENORM
0258 jmp #0282 if tmpA top bit tmpA 非非规格化？
0259 jmp #0282 if tmpB:frac[63] tmpB 非非规格化？
0260 jmp #0289 若两者都非规格化则跳过规格化
0261 tmpA:exp -> expConv 处理零
0262 jmp #0264 if not tmpA top bit
0263 zero -> tmpA 处理零情况
0264 0 -> tmpA sign +0
0265 zero -> tmpA:frac
0266 return if not round chop
0267 1 -> tmpA sign 返回 -0
0268 return
0269 adder: tmpA:frac + Breg cin=0, roundmode 基础加法：tmpA + tmpB
0270 jmp #0289 if not sumreg[64] 检查溢出
0271 shift 1 sumreg:sign,frac,rnd R 右移 1 位规格化
0272 shift R -> sumreg:frac,sign,rnd
0273 expAdj++ 增加指数调整
0274 jmp #0289 结束加法
0275 shift sumreg:frac,rnd L 0 bytes, 3 bits 零？移位获取舍入位
0276 shift L -> sumreg:frac
0277 jmp #0261 if Sum register is zero 若无舍入位则跳转
0278 zero -> sumreg:frac 清零结果
0279 jmp #0289 if not tmpA top bit 非规格化？
0280 expAdj-- 若非规格化，向下调整指数
0281 1 -> sumreg:frac,rnd 设置结果最低位
0282 lzcount -> shiftcountH 前导零调整：处理字节
0283 shift sumreg:frac,rnd L count byte sticky
0284 shift L -> sumreg:frac,rnd
0285 lzcount -> shiftcountL 处理剩余前导零位
0286 shift sumreg:frac,rnd L count bit sticky
0287 shift L -> sumreg:frac,rnd
0288 shiftcount -> tmpB:exp 记住位移位数
0289 sign latch -> tmpA sign 存储符号
0290 call ADJUST_PRECISION if not FBLD/FBSTP 必要时调整精度
0291 sumreg:frac -> tmpA:frac 存储调整后的小数部分
0292 tmpB:exp -> Breg get exp
0293 adder: tmpA:exp - Breg cin=0 adjust by Breg
0294 expAdj -> Breg
0295 adder: sumreg:frac + Breg cin=0 adjust by expAdj
0296 sumreg:frac -> expConv exp in expConv to check for overflow, etc
0297 sumreg:frac -> tmpA:exp store exp in tmpA
0298 return 完成
在地址 #0247，重要的对齐步骤发生：tmpB 被移位，使其二进制小数点与 tmpA 对齐。这由微码子程序 CREATE_DENORM 完成。移位 tmpB 的位数由和寄存器传入；此前减法已算出两个指数的差值（若差值为负，则已被取补，因此传入的是正值）。
通常结果的指数与（较大）操作数的指数相同，但并非总是如此。指数变化在两处跟踪。首先，一个称为指数调整（expAdj）的特殊两位寄存器保存因左移或右移一位带来的调整；硬件把 expAdj 初始化为 1，以便有空间递减。更大的指数变化记录在 tmpB 寄存器的指数字段；微码在 #0249 把它初始化为 0。
在地址 #0250，微码做出关键决定：底层操作是无符号加法还是无符号减法？根据涉及的符号，高层操作（加法或减法）可能与底层操作不匹配。例如 2+3、-2-3、-2+(-3) 等，两个无符号数相加，结果为 5（正或负）。而 -2+3、2-3、3-2 等，两个无符号数相减，结果为 1（正或负）。我用“无符号加法”指前一种情况，即无符号数值相加；“无符号减法”指后一种情况，即无符号数值相减。关键是加法指令可能导致无符号加法或减法，减法指令也一样。
8087 有专门电路判断底层无符号操作是加还是减，可用条件测试。tmpA 和 tmpB 的符号位负数为 1、正数为 0。若把 1 分配给减法、0 分配给加法，则 tmpAsign⊕tmpBsign⊕op 在无符号操作为减法时得 1，为加法时得 0。8087 还有条件测试符号相同还是不同。
无符号加法
无符号加法路径较简单，从 #0269 开始。步骤和前面描述基本一致：对齐数值、相加、规格化。首先，较小的数在 tmpB 中右移，直到指数匹配。然后做（无符号）加法。如果最高位有进位，结果在 #0271 右移。因为结果右移一位，特殊的两位 expAdj 计数器递增，以跟踪所需的指数调整。
在 #0289，结果符号用符号寄存器中的值更新。8087 支持三种大小：80 位临时实数、64 位实数和 32 位实数。对较小的尺寸，微码子程序 ADJUST_PRECISION 把数值裁剪到合适大小（这并不像听起来那么简单，因为结果向上舍入可能需要调整指数，记录在 expAdj 寄存器中）。最后，结果的指数由初始指数（在 tmpA 中）计算：减去 tmpB 指数中的调整值（通常为 0），加上 expAdj 寄存器中的调整值，再减 1（因为 expAdj 从 1 开始）。指数存入结果，同时也存入“指数转换器”——一个评估指数以检测上溢或下溢的电路。
此时，加减法微子程序返回公共微码。公共微码检查是否发生上溢或下溢，即数值无法放入浮点数。这种情况下会调用 NONNORMAL_RESULT 子程序处理，可能触发中断、返回无穷大或返回零。（详见我之前关于非正常结果的文章。）
随后，结果通过写入相应堆栈寄存器被压入堆栈。如果原指令指定结束时弹出堆栈，则堆栈顶标记为空，并更新堆栈指针。最后，“运行下一条指令”微指令表示当前指令微码结束。浮点指令至此完成。
无符号减法
现在看无符号减法路径，从 #0251 开始。（记住指令可能是加法，例如 -2 + 3。）微码用 64 位加法器执行无符号减法：tmpA-tmpB；第二个操作数取负以完成减法。结果可正可负，取决于哪个值更大。其余路径与加法相同：设置符号、调整精度、计算最终指数。
如果减法结果为零，#0275 测试三个舍入位。若舍入位被置位，则把结果的最低位置位，并把指数调整减 1 来抵消（对于非规格化数，结果被清零，因为没有“额外”空间提升舍入位）。若结果真为零，有 #0261 处的特殊路径，因为微码需要确定结果是 +0 还是 -0。0-0 也会汇入这段代码，以处理 +0 和/或 -0 相加或相减的各种可能。通常正负零的行为符合你对“偏向”某一侧的零的预期：例如 ⁺0 + ⁺0 是 ⁺0，⁻0 - ⁺0 = ⁻0。但如果零相互抵消呢？例如 ⁺0 + ⁻0 或 ⁻0 - ⁻0？在这种情况下，向下舍入得到 ⁻0，其他舍入模式得到 ⁺0。
前导零电路统计前导零的数量，以决定移多少位。为控制电路规模，前导零移位分两步：先按前导零字节数左移结果；接着前导零电路统计剩余的前导零位数（此时为 0 到 7），再按该位数左移。总移位量存入 tmpB 的指数。
无符号减法路径在 #0289 与前述无符号加法路径合并，调整精度、计算指数并存储结果。随后微子程序返回同样处理乘法和除法的公共代码。
公共微码中的特殊情况处理
8087 处理无穷大、零、非数、非规格化数等许多特殊情况。8087 设计者仔细考虑了这些特殊情况，并试图用数学上合理的方式处理。下表只是 8087 处理的特殊情况的一部分。
虽然这些特殊情况让 8087 在数学上更准确，却让微码复杂得多。下面的微码是加法、减法、乘法和除法共用的。它按上述方式加载操作数并存储结果，但主要处理特殊情况。这段微码是“面条代码”，连续 18 个条件分支来处理大量特殊情况。这里做高层描述，注释里的流程图提供细节。
0001 call MEM_OP if mem op 也许从内存取操作数
0002 jmp #0004 if mem op
0003 st(i) -> tmpB 从堆栈取
0004 jmp #0018 if DE (denormalized) interrupt 若非规格化中断则退出
0005 st(0) -> tmpA 栈顶送 tmpA
0006 jmp #0008 if not reverse bit 若非 FSUBR、FMUL、FDIVR 则不跳？
0007 xchg tmp 反转操作数
0008 jmp #0019 if tmp anomalous 处理异常值
0009 call INSTR_SWITCH 按指令类型切换：J1(乘)、J2(加/减)、J3(除)
0010 call NONNORMAL_RESULT if not exp normal 返回并完成指令
0011 jmp #0014 if dst st(i) 测试目的地位
0012 tmpA -> st(0) 目的地 st(0)
0013 RNI
0014 tmpA -> st(i) 退出：目的地 st(i)
0015 jmp #0018 if not pop at end 若结束时不弹出则 RNI
0016 empty -> SP(0) tag 标记栈顶为空
0017 stackPtr++ 弹出
0018 RNI
0019 call SPECIAL_TMPS 处理特殊值
0020 jmp #0023 if not flag
0021 jmp #0011 if expConv[0] 跳到结束
0022 jmp #0009 按指令类型切换
0023 cond3b -> sign latch 更多条件
0024 jmp #0039 if expConv[0]
0025 jmp #0032 if not tmpB:tag ZERO
0026 jmp #0035 if tmpA:tag ZERO
0027 except:zero div
0028 NaN -> tmpA NaN，结束
0029 high bit -> tmpA:frac
0030 sign latch -> tmpA sign
0031 jmp #0037 结束
0032 jmp #0035 if not tmpA:tag ZERO 除以非规格化/0
0033 tmpB:frac -> sumreg:frac 除以 0
0034 jmp #0055 if not Sum register is zero
0035 except:invalid
0036 NaN -> tmpA
0037 jmp #0018 if intr 跳到 RNI
0038 jmp #0011 结束
0039 jmp #0051 if not tmpA:tag SPECIAL 更多条件
0040 jmp #0046 if not tmpB:tag SPECIAL
0041 jmp #0028 if FMUL
0042 jmp #0035 if FDIV FDIVR
0043 jmp #0035 if not affine ∞ ∞×∞：测试是否仿射
0044 jmp #0035 if unsigned sub 测试是 ∞ 加还是减
0045 jmp #0038
0046 jmp #0049 if not FMUL
0047 jmp #0035 if tmpB:tag ZERO
0048 jmp #0028
0049 jmp #0028 if FDIV FDIVR
0050 jmp #0038
0051 jmp #0054 if not FMUL
0052 jmp #0035 if tmpA:tag ZERO 除以 0？
0053 jmp #0028
0054 jmp #0057 if not FDIV FDIVR
0055 zero -> tmpA 0÷非规格化 或 n÷∞
0056 jmp #0030 做处理并结束
0057 xchg tmp
0058 jmp #0061 if sign mismatch 若符号不匹配
0059 jmp #0062 if unsigned sub 测试是加还是减
0060 jmp #0038 结束
0061 jmp #0038 if unsigned sub 结束
0062 tmpA sign -> sign latch 符号取反
0063 !sign latch -> tmpA sign
0064 jmp #0038 结束
看 #0008，8087 微架构包含一个条件测试，检查任一临时寄存器是否为空或带有特殊值标签。若是，则调用我称为 SPECIAL_TMPS 的子程序。它检查两个临时寄存器，并设置两个标志，指示需要哪种特殊处理。
如果两个标志都被置位，说明某个操作数被标记为空，通常表示堆栈下溢，此时微码返回非数（NaN）。如果第二个标志清零，说明某个操作数是接近零的非规格化数，此时算术操作继续。
其余代码路径很复杂，例如根据操作数符号、具体算术操作、或操作数是零还是无穷大来分支。有八条代码路径返回非数：n÷非规格化、0÷0、0÷伪零、∞×0、∞÷∞、0×∞、∞ op ∞ proj、以及 ∞-∞ affine。多数很直观——例如 0×∞ 没有有意义的值——但最后两个需要多解释几句。
8087 有两种无穷大模式，由控制寄存器中的一位选择。“仿射闭包”（affine closure）下无穷大带符号，+∞ 和 -∞ 是两个不同值。推荐模式是“射影闭包”（projective closure），无穷大无符号。在仿射模式下，∞+∞ 完全合法，得到正无穷大。但 ∞-∞ 没有意义；回答 0 会是任意的，因此返回 NaN。在射影模式下，对无穷大的任何操作都没有意义，因为无穷大既无限正又无限负。
微码有八条返回无穷大的路径：n÷0、∞×n、∞×∞、n×∞、∞÷x、x±∞、∞±x 和 ∞+∞ affine。（第一种情况假设除零异常已被屏蔽。）前五种情况，微码通过组合操作数的符号生成无穷大的符号。但后三种情况从无穷大操作数取符号，忽略另一个符号。换句话说，乘除可以翻转无穷大的符号，加减则不能。
两条路径处理特殊的 0 结果：0÷非规格化 和 n÷∞。微码根据操作数符号生成带正确符号的 0。
前导零电路
减法中，数字可能相消，留下需要移位去掉的前导零。8087 的移位器能对 64 位数值移任意位。前导零电路的任务是统计前导零，以决定移位量，即统计第一个 1 位左边有多少个零，并把它变成二进制值。这基本等同于对第一个 1 位的位置进行编码的优先编码器。
前导零电路有些复杂，因为每个二进制输出位都依赖所有输入位；64 位检测器有 64 位输入。一种方法是列出真值表并优化，得到一堆逻辑；另一种是用分层方法，即 log(N) 级的树。8087 采用更简单的办法：第一遍按字节消除前导零，第二遍消除剩下 0 到 7 个前导零位。每一遍都需要一个独立的 8 输入前导零检测电路。这种方法较慢，但电路简单得多：两个 8 位前导零检测器，而不是一个 64 位前导零检测器。
下面示意图展示把 0 到 7 个前导零转换成 3 位二进制值的电路。为简化示意图，我把第一层逻辑替换成表示 8 位输入的位掩码。例如 x01xxxxx 表示若第二位为 0、第三位为 1、其余位任意，则信号为高。我加了文字说明；由于优化，这些说明有一些例外。例如 x01xxxxx 匹配任何有两个前导零的模式，也匹配一些没有前导零的模式，但那些不影响结果。关键是它匹配所有有 2 个前导零的情况，且不匹配有 1 个或 3 个前导零的情况。
电路输出是一个 3 位二进制值，表示前导零的数量。顶部 NOR 门生成低位，有 1、3、5 或 7 个前导零时置位。高位由底部 NOR 门生成：有 4、5、6 或 7 个前导零时置位。中间位较复杂，多一层逻辑判断是否有 4 或 5 个前导零（或可能是 0 或 1）。两个 1 情况阻止四个零，而 00 对意味着四个前导零会变成至少 6 个。（这是粗略解释，但可以枚举 256 种情况验证它们都产生正确答案。）
要统计带前导零的字节数，使用类似逻辑。不过每组 8 位先经过 OR 门，检测该字节是否有任何位置位。于是逻辑判断存在多少个前导零字节。
在芯片上，前导零逻辑紧邻和寄存器左侧，检查和寄存器的每一位。
结论
多数人不会多想计算机的加减法操作。但背后有有趣的算法和特殊情况，这些特性体现在巧妙的硅电路里。处理正负零、正负无穷大和非数的复杂规则已成为现代计算机的一部分，因为 8087 引出了今天使用的 IEEE-754 浮点标准。不过 8087 在特殊情况下有些过头。8087 的一些特性，如射影无穷大、unnormals 和伪零，因为不值得费力而从标准中被去掉。
注释与参考
临时实数格式与外部格式的一个区别是：临时实数中开头的 1 被显式存储，而外部格式中开头的 1 是隐式的、不存储，从而多一位精度，但让算术更复杂。
下面的流程图显示了加减法微码的控制流。（点击查看大图。）
William Kahan 是 8087 背后的浮点专家。他写过各种设计决定的动机，若想了解细节，例如为什么 NaN != NaN，可以参考他的文章。（一条有趣的评论讨论了 0^0 的值，网上常有争论。Kahan 说：“越来越多的人一致认为 x**0 = 1 对所有 x 成立，包括 0、∞ 和 NaN。”）
下面的流程图显示了基本算术指令共用的微码。该流程图把上面的流程图作为子程序调用。众多特殊情况路径已编号。
SPECIAL_TMPS的操作总结如下。它通过flag触发器和指数转换器寄存器（expConv）返回状态。其操作是：
| 输入 | 结果 | flag | expConv | | --- | --- | --- | --- | | empty | NaN，异常 | 1 | 1 | | NaN | （较大的）NaN，异常 | 1 | 1 | | infinity | 无穷大 | 0 | 1 | | denorm | unnorm | 1 | 0 | | divide-by-zero(ish) | 不变 | 0 | 0 |
我称为“divide-by-zero(ish)”的行表示除法指令试图除以零或接近零的 unnormal 数。下面补充 8087 如何表示 0 和接近 0 的值的背景。普通浮点数的尾数首位为 1。不幸的是，普通数在最小的普通数和零之间有巨大空隙。非规格化数打破这条“规则”，允许高位为零，从而在 0 附近有更多数。（用十进制类比：假设从 1.003、1.002、1.001、1.000 往下数。如果最高位必须保持为 1，下一个可能的数就是 0，相比 1.000 是巨大跳跃。非规格化数让你继续小步走：0.999、0.998、……、0.001、0。）
对于非规格化数，指数取最小可能值。unnormals 与非规格化数类似，只是指数值更大。unnormals 的目的是：如果非规格化异常被屏蔽，非规格化数就被转换成 unnormal 并继续执行。
对于真正的零值，8087 使用带符号零，因此可以有 +0 或 -0。真零用最小可能指数存储。但 8087 也支持“伪零”，即指数较大的零值。伪零可能来自两个极小的 unnormal 值相乘。（到了 80387 浮点芯片，英特尔去掉了 unnormals 和伪零。）
SPECIAL_TMPS 子程序的微码我之前详细讨论过，这里不再赘述。
评论
作者发文后询问接下来该剖析 8087 的哪个部分，社区回应以致敬与怀旧为主，气氛友好、几乎没有对立。真正张力来自 8087 的“技术超前却生态失败”：它早在 1980 年就支持 80 位浮点，却从未真正普及，甚至被数值计算领域忽视；而 46 年后的许多微控制器仍只有 32 位浮点或根本没有浮点，反倒集成安全岛和能联系外星人的无线电。
认为 8087 在 1980 年就已具备惊人的 80 位浮点能力，却未能延续到后来的生态中
- 评论者普遍觉得 8087 很酷、能力超前：它早在 1980 年就支持 80 位浮点；但一方面它从未真正流行，连数值计算人群都忽视它，另一方面 46 年后的许多微控制器仍只有 32 位浮点或完全没有浮点，却集成安全岛和能联系外星人的无线电，这种反差尤其令人不满。（较多人） > 我始终不理解，为什么做数值计算的人会无视 8087（@WalterBright）
称赞 Ken 是低质内容海洋中的灯塔
- 有评论者感谢 Ken 多年持续发布大量文章与视频，把他视为信息低质化环境中的明灯，代表读者对作者长期高质量科普的敬意。（少数人） > Ken 是低质内容海洋里的灯塔，感谢他多年来无数的文章与视频（@kar1181）
有价值的补充
- 早期 Win32 在上下文切换时不会保存 8087 寄存器；WalterBright 联系微软后，对方才改为保留这些寄存器。他一直以自家编译器支持 8087 为荣。（@WalterBright）