1970年代，浮点运算混乱，制造商有十几种不兼容算术标准，浮点系统侧重硬件简单而非数学严谨导致数值稳定问题。1980年英特尔（Intel）推出8087浮点协处理器（8087 floating-point coprocessor），力求准确。它可装入国际商业机器（IBM） PC，使浮点运算快达100倍，并成为当今多数计算机浮点标准。8087以微码实现指令，某逆向小组近期进展，正检查其FSCALE（Floating-point Scale）指令微码，该指令按2的幂缩放数快于乘法，原以为极简单。

20 世纪 70 年代，浮点运算一片混乱。计算机制造商有十几种互不兼容的算术标准，而且浮点系统围绕硬件简单性设计，而非数学严谨性，带来数值稳定性问题。1980 年英特尔推出 8087 浮点协处理器芯片，力求尽可能精确，即便在极端情况下也是如此，局面由此改变。8087 可以装进 IBM PC，使电子表格、CAD 等应用的浮点运算速度提高最多 100 倍，因而大受欢迎。更重要的是，8087 成为当今大多数计算机采用的浮点标准。

8087 用称为微程序的复杂底层代码实现指令。我所在的 Opcode Collective 小组正在逆向工程这些微程序，最近取得了一些进展。这次我分析 8087 的 FSCALE 指令的微程序，说明它如何工作。FSCALE（Floating-point Scale）提供把数值乘以 2 的幂的快捷方法，比乘法快得多。我本以为 FSCALE 简单到几乎不值一提，应该很容易理解和讲解。剧透一下：它一点也不简单。FSCALE 用了 140 多条微指令和三层子程序调用，处理许多特殊情况。但 FSCALE 微程序展示了 8087 许多有趣的部分，比如移位器、加法器和指数转换器，还揭示出一个隐藏功能。

为了研究微程序，我打开一颗 8087 芯片，用显微镜拍了高分辨率图像。巨大的微程序 ROM 位于中央，存放控制芯片的 1648 条微指令。左侧的微程序引擎逐步执行微程序，处理跳转和子程序调用。芯片下半部是“数据通路”，即执行浮点计算的电路，分为处理指数的 16 位数据通路和处理有效数字（也叫小数部分）的 64 位数据通路。

放大芯片底部可以看到数据通路电路，下图标出了与 FSCALE 相关的部分。指数 ROM 存放各种常量。指数转换器是专门电路，检查指数、检测特殊值并在不同指数格式间转换。移位器是个大部件，可以把 64 位数值左右移动任意位数。加法器是 8087 计算的核心；乘、除、开方都在循环中使用它。B 寄存器保存加法器的一个输入，另一个输入可以有多个来源。和寄存器保存加法器输出。八个栈寄存器和临时寄存器存放浮点数。

8087 的细节

要使用 8087，程序员把数值存入八个内部寄存器，它们组织成栈。每个寄存器保存一个 80 位浮点数。为提高性能，寄存器栈中每个值都带一个“标签”，对程序员基本不可见。标签把值标记为 valid（有效）、special（特殊）、zero（零）或 empty（空）。正常的浮点值标记为 valid。如果值是无穷大、NaN（Not a Number）或非正规化值，就标记为 special。零值标记为 zero。寄存器为空（比如值已弹出栈）就标记为 empty。

8087 还有内部使用的临时寄存器：tmpA、tmpB 和 tmpC。与栈寄存器一样，tmpA 和 tmpB 是 80 位寄存器，另加两个标签位。tmpC 则只保存 64 位有效数字。

8087 支持多种数据类型：各种大小的浮点数、整数和二进制编码十进制。但内部一律以 80 位浮点数“临时实数”存储；下面只考虑临时实数值。一个数由三部分组成：符号位、15 位指数和 64 位有效数字。多数情况下，浮点数表示为 sign × significand × 2^exponent。有效数字是形如 1.bbb... 的 64 位二进制数：前导 1，然后是二进制小数点（相当于十进制小数点）和其余位。浮点数之所以有用，是因为借助指数（范围 -16382 到 16383），它的覆盖范围从极小到极大。一个重要细节是，指数存储时加上了 16383 的“偏置”，因此存储的指数始终为正，即便实际指数为负。

8087 支持几种用特殊指数表示的特殊值，如下图所示。零和无穷大都有正负之分。NaN 代表没有意义的值，比如 0/0 或 sqrt(-1)；NaN 有很多种表示，不只是一个值。8087 还支持非正规化值和未正规化值，它们是非常小的值，有效数字没有前导 1。

8087 有复杂的异常系统，六种异常用来表示算术运算是否出了问题。最严重的是“非法操作”，表示运算没有意义，比如 0/0 或 ∞-∞，也包括访问空寄存器（栈上溢或下溢）或对 NaN 值做运算。还有结果太大而无法存储的上溢异常、结果太小的下溢异常、除零异常（0/0 除外）。非正规化操作数异常表示结果太小，无法作为正常值存储，但可以存为非正规化值。最后是精度异常，表示一个值无法精确表示、必须舍入（精度异常非常常见，连 1/10 都会触发）。

8087 对每种异常都提供精细控制，由控制寄存器中的位指定。如果异常未屏蔽，8087 会向 8086 处理器发中断，由软件处理，比如终止程序或记录错误。如果异常被屏蔽，8087 会尽力继续执行：非法结果用 NaN 取代，上溢或除零用无穷大取代，精度异常则进行舍入。屏蔽异常的用意是让计算继续，得出尽可能准确的结果；多数情况下这正是程序员想要的。

这些特性让 8087 灵活而精确，也让微程序复杂得多，因为各种特殊情况的组合都要妥善处理。

执行一条 8087 指令可能需要数百个内部步骤，这些步骤由微指令实现的微程序完成。微程序 ROM 存放实现 8087 指令集的 1648 条微指令。我正与 Opcode Collective 合作逆向微指令，弄清全部微程序。

8087 微指令很复杂，有很多边角情况和临时功能，这里只给个简化概览。每条微指令 16 位，如下图所示。前三位指定微指令类型，决定其余位的含义。第一种是传送操作，把数据从一个内部寄存器移到另一个，两个字段分别指定源和目的，剩下三位用于各种特殊情况。第二种是移位操作，用桶形移位器把值左移或右移。第三种控制加法器（也可做减法）。杂项指令包括栈指针操作、标签修改、异常和子程序返回。远跳转和远调用微指令跳转或调用固定列表中的目标微地址。条件字段允许依据多种条件进行条件跳转/调用/返回，最后一位对条件取反。局部跳转是跳到附近微指令的相对跳转。

FSCALE 微程序

8087 开始执行指令时，指令译码电路确定该指令微程序的起始地址。这个 11 位地址装入微程序引擎，开始执行微程序。FSCALE 的微程序从十进制地址 748 开始。

FSCALE 的思路很直接：要把浮点数乘以 2^N（N 为整数），只需给数的指数加上 N，比完整浮点乘法快得多。然而 FSCALE 的微程序出人意料地复杂，用了好几个微程序子程序。简言之，它先检查参数是否为零，再处理其他特殊参数；把缩放参数转成整数并与指数相加；最后处理上溢或下溢。

说得更细一点：例程先把栈顶（st(0)）的第一个参数移到临时寄存器 tmpA。如果参数是零，例程立即返回（因此用任何东西缩放 0——哪怕 NaN——结果都是 0）。接着把栈上第二个值（第二个参数）移到 tmpB。同样，如果这个值为 0，代码返回，于是用 0 缩放任何值都保持原值不变。然后选择一个常量；选择常量和用它是两条独立微指令（8087 分别有存 16 位指数常量和 67 位有效数字常量的 ROM，这里是指数常量）。正常情况下，执行跳到地址 #0763，跳过对子程序 SPECIAL_TMPS 的调用。

``` FSCALE:

0748 st(0) -> tmpA 从栈顶取输入参数

0749 若 tmpA:tag ZERO 则跳 #0776 为 0 则退出

0750 stackPtr++

0751 st(0) -> tmpB 从 stack(1) 取缩放参数

0752 stackPtr--

0753 若 tmpB:tag ZERO 则跳 #0776 为 0 则退出

0754 expconst 0x403e 常量 403e：转换为整数所需的指数移位

0755 若 tmp 非 empty/special/div 则跳 #0763

0756 call SPECIAL_TMPS 特殊处理

0757 若 flag 则跳 #0762

0758 若 tmpB:tag 非 SPECIAL 则跳 #0761

0759 except:invalid 非法异常，用 NaN

0760 NaN -> tmpA

0761 若 intr 则跳 #0776

0762 若 expConv[0] 则跳 #0775 若 expConv 置位则返回 tmpA，否则继续

0763 tmpB:exp -> Breg 常规路径

0764 tmpB:sign,exp -> expConv ExpConv 将检测 tmpB 的符号

0765 expConst -> tmpC 常量 403e

0766 adder: tmpC - Breg cin=1 403e-exp 即把 tmpB 转成整数所需的移位量

0767 sumreg:frac -> shiftcount 存入移位器控制

0768 shift tmpB:frac R count byte bit 执行移位

0769 shift R -> Breg Breg 保存整数形式的缩放参数

0770 若 neg 则跳 #0777 负的 Breg 需单独处理

0771 adder: tmpA:exp + Breg cin=0 把缩放量加到指数

0772 sumreg:frac -> expConv 结果送入 expConv 检查

0773 sumreg:frac -> tmpA:exp 用和更新指数

0774 若 exp 非 normal 则 call NONNORMAL_RESULT 处理上溢/下溢

0775 tmpA -> st(0) 结果写回栈

0776 RNI 完成：运行下一条指令

0777 adder: tmpA:exp - Breg cin=1 减去 Breg

0778 jmp #0772 继续处理

```

在 #0763，第二个参数从浮点数转成整数，需要几步。例如参数是 9，浮点表示为 1.001×2^3。有效数字位 1000 是“左对齐”的，但作为整数需要用右移把它们“右对齐”。一般来说，如果指数是 n，有效数字要右移 63-n 位。但指数偏置了 16383，所以有效数字必须右移 63-(exp-16383) 位，即 0x403e-exp 位。（这解释了微程序前面出现的常量 0x403e。）

微程序中，减法要几步完成。在 #0763，第二个参数的指数移入 B 寄存器——加法器的一个输入（与 tmpB 完全不同）。接着，符号和指数移入指数转换器，这个电路会检测溢出等。然后，常量 0x403e（在 #0754 选好的）移入 tmpC 寄存器。在 #0766，加法器被激活，从常量里减去指数。加法器把结果放进和寄存器，这个值再复制到移位计数寄存器，控制移位器。它表示第二个参数需要移多少位才能转成整数。在 #0768，移位器按所需位数移位，同时使用位移动和字节移动部分。与加法器一样，激活移位器和读取结果是两条独立微指令；结果放入 B 寄存器。

FSCALE 的核心部分最终在 #0771 执行，把第二个参数加到第一个参数的指数上。加法器被激活，把 B 寄存器值（缩放量）加到指数上，更新后的值存入 tmpA 的指数。（缩放因子为负时则走 #0777 路径做减法。）这个值同时送入指数转换器，检查指数是否上溢或下溢；如果溢出，就调用子程序 NONNORMAL_RESULT。正常情况下，更新后的值从 tmpA 复制到栈顶寄存器 st(0)。最后，RNI（Run Next Instruction）表示微程序例程结束，指令完成。因此，即便在最直接的情况下，FSCALE 也要用大约 22 条微指令。

处理空或特殊参数

如果参数访问空的栈位置（即栈下溢）或是特殊值（无穷大、非正规数、NaN）会怎样？这些情况由一个微子程序处理，我叫它 SPECIAL_TMPS，因为它处理 tmpA 和/或 tmpB 中的特殊值。这是个通用例程，基本算术运算、FSCALE、FTST（测试）和 FPREM（部分余数）都会用。

SPECIAL_TMPS 的控制流相当曲折，因为如果一个参数为空而另一个是非正规数，代码必须排定优先级。这里只做简短总结。子程序先把任何非正规数转成未正规数，然后检查是否访问空栈位置，若是则触发异常或中断。接着再检查两个参数：如果任一是 NaN，就触发异常或中断；否则返回一个状态，说明参数类型。

出乎意料的是，如果两个参数都是 NaN，代码会比较两个 NaN 值并返回较大的那个。这种行为看起来很怪，但这是有文档记载的特性。你可能以为 NaN 是一个值，其实它是个庞大的家族。当初的想法是，程序员可以用不同的 NaN 值标记问题出现的位置。比如在未初始化数组的每个位置放不同的 NaN，就能知道访问了哪个位置。出于某种原因，8087 设计者决定：两个不同 NaN 做运算时，结果取较大的那个。因此微程序需要代码检测两个操作数是否都是 NaN 并计算较大者，用减法做比较（#1518）。

``` SPECIAL_TMPS (J5):

1484 若 tmpA:tag SPECIAL 则 call SPECIAL_VAL 处理 tmpA/tmpB 中的特殊值

1485 xchg tmp

1486 若 tmpA:tag SPECIAL 则 call SPECIAL_VAL 处理 tmpB 特殊值

1487 xchg tmp

1488 1 -> flag 默认 flag=1

1489 若 tmp 非 empty/special/div 则跳 #1500 tmp 正常则 0 -> expConv

1490 1 -> expConv

1491 若 tmpA/B 非 empty 则跳 #1497

1492 except:invalid 任一为空则非法

1493 若为比较指令则跳 #1525 比较指令不产生 NaN

1494 若 intr 则跳 #1511 中断未屏蔽则返回

1495 NaN -> tmpA 中断被屏蔽则用 NaN

1496 return

1497 若 tmpA:tag SPECIAL 则跳 #1502 特殊情况

1498 若 tmpB:tag SPECIAL 则跳 #1505

1499 0 -> flag 除法常规路径：

1500 zero -> expConv 返回 flag 0, expConv 0

1501 return

1502 call SPECIAL_VAL TmpA 特殊

1503 若非 flag 则跳 #1512 若为 NaN 则跳转，否则继续（无穷大）

1504 若 tmpB:tag 非 SPECIAL 则跳 #1509

1505 xchg tmp TmpB 特殊

1506 call SPECIAL_VAL

1507 xchg tmp

1508 若非 flag 则跳 #1521 若为 NaN 则跳转，无穷大则返回

1509 0 -> flag 清 flag，返回

1510 return

1511 RNI 带中断结束指令

1512 若 tmpB:tag 非 SPECIAL 则跳 #1522 TmpA 是 NaN，检查 tmpB

1513 xchg tmp

1514 call SPECIAL_VAL 检查 tmpB

1515 xchg tmp

1516 若 flag 则跳 #1522 tmpB 非 NaN 则跳转

1517 except:invalid 非法异常

1518 tmpB:frac -> Breg 两个参数都是 NaN，取较大者

1519 adder: tmpA:frac - Breg cin=1

1520 若加法器符号则跳 #1522 看 tmpA < tmpB

1521 tmpB -> tmpA 取较大者

1522 except:invalid 非法异常

1523 若为比较指令则跳 #1525 比较指令不产生中断

1524 若 intr 则跳 #1511 带中断结束指令

1525 1 -> flag 带 flag 返回

1526 return J5 结束

```

这个子程序大量使用辅助子程序 SPECIAL_VAL，它处理单个参数：把非正规参数转成未正规参数，视情况触发异常或中断，并标记输入是否为无穷大。

#1485 处交换 tmpA 和 tmpB 的微指令，其硬件很有意思。它并不真的在两个寄存器间搬移值，而是翻转一个触发器，交换 tmpA 和 tmpB 的含义：触发器置位时，对 tmpA 的引用就指向 tmpB，反之亦然。（这是微处理器的标准技巧；英特尔 8080 的 XCHG 指令用类似方式交换 DE 和 HL 寄存器，Z80 也在 EX 和 EXX 指令中用同样手法交换主寄存器组和辅助寄存器组。）

处理非正规结果

拿一个很大的数去放大，可能上溢；拿一个很小的数去缩小，可能得到非正规化数或下溢。这会触发上溢、非正规或下溢异常，未屏蔽时还会中断。而且 8087 支持四种舍入模式：舍入到最近的有效值、向下舍入（朝 -∞）、向上舍入（朝 +∞）、朝零舍掉。根据舍入模式，上溢可能得到 ∞，也可能得到最大可表示浮点数；下溢可能得到零，也可能得到最小可表示浮点数。无穷大还分仿射和投影模式，可以是带符号或无符号。因此 FSCALE 微程序要处理结果的许多特殊情况。

下面是处理 tmpA 中非正规结果的子程序。一条有趣的微指令是 update overflow/underflow exceptions，它会在适当时触发异常。大多数异常由微指令直接触发（比如 #0346 的 except:precision）。但上溢和下溢异常，微程序把任务交给硬件：8087 的“指数转换器”电路根据选定的浮点精度检查指数，判断是否存在上溢或下溢。微指令则根据这些值设置上溢和下溢标志。一个复杂任务就这样靠指数转换器的硬件支持，由一条微指令完成。

``` NONNORMAL_RESULT (J16):

0318 若 tmpA:tag ZERO 则 return 处理非正规结果

0319 update overflow/underflow exceptions 若指数转换器指示则触发异常

0320 expconst 0x6000 中断偏置常量 0x6000

0321 若非 intr 则跳 #0329

0322 expConst -> Breg 中断路径

0323 若 neg 则跳 #0326

0324 adder: tmpA:exp + Breg cin=0 下溢加上偏置

0325 jmp #0327

0326 adder: tmpA:exp - Breg cin=1 上溢减去偏置

0327 sumreg:frac -> tmpA:exp 新指数写入 tmpA

0328 return 有中断，结束

0329 若 neg 则跳 #0344 屏蔽异常

0330 tmpA:exp -> Breg 下溢

0331 adder: 1 - Breg cin=1 非正规数需移位数

0332 call CREATE_DENORM 创建非正规数

0333 adder: zero + Breg cin=0, roundmode 加零以舍入

0334 call ADJUST_PRECISION 按指定精度调整

0335 若和寄存器为零则跳 #0340 为零则视情况返回 +/- 零

0336 zero -> tmpA:exp 非正规数：指数为 0

0337 sumreg:frac -> tmpA:frac 保存非正规数的小数

0338 special -> tmpA tag 非正规数标记为 special

0339 return

0340 tmpA sign -> sign latch 返回 +/- 零

0341 zero -> tmpA

0342 sign latch -> tmpA sign

0343 return

0344 NaN/Inf -> tmpA:exp 上溢：可能返回无穷大

0345 tmpA:frac -> tmpB:frac 把 tmpA 小数存入 tmpB

0346 except:precision 设置精度异常

0347 Inf -> tmpA:frac 小数置为无穷大

0348 special -> tmpA tag 无穷大标记为 special

0349 若非朝零舍入则 return 向上舍入则返回无穷大

0350 1 -> Breg 返回最大浮点数：向下调整

0351 adder: tmpA:exp - Breg cin=1

0352 sumreg:frac -> tmpA:exp 指数=7fff-1=7ffe

0353 adder: zero - Breg cin=1

0354 sumreg:frac -> tmpA:frac 小数 0-1 = ff...ff

0355 norm -> tmpA tag 正常值

0356 若 tmpB:frac[63] 则 return 除非是未正规数，返回最大浮点数

0357 tmpB:frac -> tmpA:frac 返回原 tmpA 小数

0358 return

```

如果上溢或下溢未屏蔽并产生中断，8087 的行为很有意思。它的用意是让中断处理程序知道指数本来应该是多少。但正确值太大或太小，装不进指数字段（这正是异常发生的原因），于是解决办法是加上或减去常量 0x6000，得到一个能装下的指数。中断处理程序再减掉或加上这个常量，就能得到正确指数。#0322 到 #0328 执行这个加或减。

对于已屏蔽的下溢，子程序 CREATE_DENORM 会生成一个非正规值，再由 ADJUST_PRECISION 按指定精度舍入。如果值小到连非正规数都装不下，就视情况返回 +0 或 -0。

对于已屏蔽的上溢，8087 根据指定舍入模式返回无穷大或最大可表示浮点数。无穷大的指数全为 1、有效数字是 1000...，这些值由晶体管直接送上总线。最大浮点数则是算出来的：从无穷大的指数减 1，从零有效数字减 1。

辅助子程序：创建非正规数

8087 有一个颇具争议的特性：非正规数，即比“常规”浮点数更小的数。浮点数的有效数字首位是 1，但如果已经用了最小指数还要更小的数怎么办？8087 允许打破有效数字以 1 开头的规则，产生更小的非正规化数。非正规数大幅扩展了范围，最小可以再小 2^63 倍。但非正规数精度较低，因为高位被“浪费”了；而且与非正规数有关的计算往往明显更慢，因为需要特殊处理。

上图是一个指数已最小的正常数（-16382，偏置后为 1）。把它除以 8（即缩放 -3）会产生非正规数，因为指数不能再减小了。于是有效数字右移 3 位，指数换成特殊值 0，表示这是非正规数。

在 8087 中，非正规数由一个微程序子程序创建，我叫它 CREATE_DENORM，许多算术运算都用它，不止 FSCALE。该子程序接收一个正常数和一个移位量，通过移位（如上例）生成非正规化数。下面的微程序用指数转换器检查移位量是否达到或超过 64；若是，移位后什么都不剩，返回零。否则把值右移，非正规数存入 B 寄存器。

``` CREATE_DENORM (J20):

0522 sumreg:frac -> expConv 创建非正规数

0523 sumreg:frac -> shiftcount 移位数

0524 若 exponent[6:14] == 0 则跳 #0528 小于 64 则跳转

0525 zero -> Breg 没有位留下，用零

0526 shift tmpA:frac L 0 bytes, 0 bits 穿过移位器？

0527 jmp #0532

0528 shift tmpA:frac R count byte bit 按要求右移

0529 shift R -> Breg 结果送入 Breg

0530 shift tmpA:frac L ~count byte bit 再移回来做粘滞位检测

0531 NOP 等待移位器

0532 rounding(h) -> Breg[grs] 把三个舍入位存入 Breg

0533 return

```

但为什么之后又把值左移（#0530）？目的是取得舍入位。8087 的一条原则是舍入必须正确，这比看起来难得多。要决定如何向上舍入，需要跟踪多得不可能的位。比如计算 1+0 再向上舍入，得 1；但计算 1+2^-10000 再向上舍入，会得到比 1 略大的浮点数。问题是在舍入前如何区分两者，又不存几千位。

诀窍是 8087 保留三个用于舍入的位：“保护”位、“舍入”位和“粘滞”位。把有效数字右边看作一条“尾巴”，保护位是尾巴的最高位，接着是舍入位。粘滞位很特别：它是尾巴所有剩余位的或，表示其中是否有任何一位为 1。于是 1+2^-10000 的粘滞位被置位，而 1+0 没有，两者就能以不同方式向上舍入。为生成粘滞位，8087 用一个非常大的 64 位或非门并行检测尾巴各位。

当一个数右移（比如创建非正规数）时，右边的位会丢失。为生成舍入位，程序把值向“左”移，保留最终会被丢弃的尾巴位，同时丢弃最终有效数字中的位。最高两位变成保护位和舍入位，其余位相或生成粘滞位。上图就是一例：假设值要右移 4 位，尾巴位 abcd（至少 d）会在移位中丢失。把原有效数字右移 59 位（4 的补数）来计算舍入位：第 62 位 a 成为新保护位，第 61 位 b 成为新舍入位，剩余 64 位相或成为新粘滞位。（旧有的保护、舍入、粘滞位也会或进来，不会丢失。）把第一次移位的有效数字与第二次移位得到的舍入位合并，就得到所需结果。

辅助子程序：调整精度

虽然 8087 支持三种长度的浮点数，但所有计算都用 80 位“临时实数”进行。指令结束时，结果才转成所需长度（因此用较短浮点数，大多数指令并不会更快）。有个我称为 ADJUST_PRECISION 的微程序子程序，按控制字指定的精度、用指定舍入模式转换结果。大多数算术指令都用它。

第一条代码路径处理临时实数（64 位精度）。控制字指定四种舍入模式之一。但对特定有效数字，实际只有两种动作：向下舍入（截断）或向上舍入（截断后加 1）。这个决定由复杂逻辑电路做出，电路检查舍入位、舍入模式和符号，确定该向上还是向下。这简化了微程序，却让硬件更复杂。微程序执行条件返回：若有效数字不需要向上舍入就直接返回；否则给有效数字加 0 并置进位输入，使其加 1。然后检查是否溢出，若溢出就用无穷大替换，并设置特殊标志。

``` ADJUST_PRECISION (J11):

0299 若非 precision64 则跳 #0306

0300 若非向上舍入则 return，并更新 CC1 更新条件码，可能返回

0301 adder: sumreg:frac + 0 cin=1 加 1 以向上舍入

0302 若非 sumreg[64] 则 return

0303 Inf -> sumreg:frac,sign 溢出则返回无穷大

0304 2count++ 设置特殊标志

0305 return

0306 23/52 -> shiftcount 短或长实数：取相应移位量

0307 shift sumreg:frac,rnd L count byte bit sticky 移位生成舍入位

0308 NOP 等待移位器完成

0309 rounding(H) -> sumreg[grs] 存入舍入位

0310 shift sumreg:frac R ~count byte bit 右移丢弃多余位

0311 shift R -> sumreg:frac

0312 若非向上舍入则跳 #0314，并更新 CC1 更新条件码

0313 adder: sumreg:frac + 0 cin=1 视情况向上舍入

0314 shift sumreg:frac L ~count byte bit 左移回正

0315 shift L -> sumreg:frac,sign

0316 若非 sumreg[64] 则 return 未溢出则返回

0317 jmp #0303 返回无穷大

```

返回较小精度（短实数或长实数）时，代码更复杂，因为有效数字必须缩短。首先 #0306 按控制字指定的精度把 23 或 52 装入移位器，然后把值左移，像上一节那样产生舍入位。接着把值右移，缩短到目标长度。和之前一样，视是否需要向上舍入来给有效数字加 1 或不变。最后把值左移回去，使有效数字最高位在左边。同样，如果向上舍入导致溢出，就返回无穷大。

一个奇怪之处是，带“向上舍入”条件的跳转还有一个副作用：更新 8087 程序员可见的条件码寄存器 CC1，表示结果被向上还是向下舍入。也就是说，8087 有额外电路检测这一特定条件并把值装入条件码锁存器。奇怪的是，8087 文档没有描述这个条件码动作；英特尔直到 1987 年的 387SX 浮点芯片才记录下来。

结论

浮点技术的历史远比 8087 悠久。例如 IBM System/360 大型机（1964 年）就支持 32 位和 64 位浮点数。1977 年 AMD 推出 Am9511 浮点芯片，支持 16 位和 32 位浮点数以及超越函数。8087 的革命性在于它精心设计、力求数学上尽可能精确，这主要归功于数值专家 William Kahan。（8087 促成了 IEEE 754 标准，如今几乎所有计算机都在用，终结了互不兼容浮点标准的无政府状态。）

8087 最终变得极其复杂：三种浮点数长度、四种整数长度、四种舍入模式、无穷大模式、一堆可屏蔽或不可屏蔽的异常、非正规化和未正规化数、带符号和无符号无穷大、带符号零，还有整整一个 NaN 家族。这些特性组合起来产生许多边角情况。8087 既靠专门电路，也靠纷繁复杂的微程序来应付这种复杂性。

8087 有多复杂？对于没有 8087 芯片的用户，英特尔出售过 8087 Support Library，能精确模拟 8087 的指令（但慢得多）。这个模拟器占 16K 字节的 8086 代码，而在当时一个完整的 BASIC 解释器才 8K。换个角度看，8087 的硬件大幅减少了所需软件：8087 本身只用 3.3K 微程序，而模拟器用 8086 代码要 16K。

讨论围绕 8087 协处理器展开，不少人质疑 x87 架构怪异、对编译器极不友好，也有人盛赞其带来的巨幅提速与非对称并行设计巧思。

认为 x87 架构怪异且对编译器极不友好

• 指出其设计思路类似科学计算器，与现代 CPU 工作逻辑脱节，导致编译适配痛苦，软硬件层面都倾向规避并改用 SIMD；80位寄存器宽度也显得来源不明（较多人） > 这架构简直像为惠普逆波兰计算器设计的，让编译器生成代码苦不堪言，大家能躲就躲改用 SIMD 了（@cogman10）

认为 8087 的性能提升与并行设计极具价值

• 亲历者表示百倍数学提速绝非夸张，且在旧机器上体验过 3 秒对 300 秒的悬殊差距；其指令流可与 x86 交错形成非对称多处理器，让浮点与整数代码真正并行（较多人） > 8087 指令能和 x86 交织在一起，等于构成了双芯片并行工作的异步多处理系统（@garganzol）

有价值的补充

• 从单一缩放指令扩展到 140 条微指令的实现方式，使特殊情形处理机制变得更加直观具体（@finn888）
• 本文作者现身帖子，表示可解答关于 8087 的疑问（@kens）