2026年9月4日，纽约州罗斯科（Roscoe, N.Y.）。我确信有些图片抵得上千言万语，但另一些却会引发大量困惑，我最近买的一本名为《用音调计算：音乐的对数逻辑》（Calculating with Tones: The Logarithmic Logic of Music）的书封面就是这种情况。

2026年9月4日，纽约州罗斯科

有些图片确实胜过千言万语，但有些却会让人一头雾水。我最近买的一本名为《用音调计算：音乐的对数逻辑》的书，封面就是这种情况。

这本书由奥特里德学会出版，该组织以威廉·奥特里德的名字命名，这位英国圣公会牧师和数学家被认为在1622年左右发明了第一把对数计算尺。奥特里德学会成立于1991年，致力于“保护计算尺和其他计算工具的历史”。他们的网站上有大量关于这一主题的实用信息。

虽然奥特里德学会的网站上仍有这本书的专门页面，但他们目前似乎不出售这本书，而且该学会也不直接提供第二版。

这个封面插图引起了我的兴趣，因为对数既涉及我们对音乐音高的感知，也涉及计算尺的构造。正如我在正在编写的《对数的失落艺术》中所讨论的，对数和计算尺最初是为了简化繁琐的乘法和其他数学运算过程而发明的，但它们至今仍然至关重要，包括帮助我们理解对自然世界的感知。

但这个封面插图似乎暗示了计算尺上刻度间距与吉他琴枕上不规则间距之间存在直接对应关系，甚至暗示吉他琴枕的间距设置使得它们可以像计算尺一样进行乘法运算。否则，这本书为何要取名为《用音调计算》呢？

该插图在书中的第34页重印，说明文字包含对图形两部分的描述：

吉他：琴枕安装在吉他琴颈上，以帮助定位各个音符。随着琴枕越来越靠近下琴桥，它们之间的距离会越来越短。这种缩短是对数性的。

计算尺：计算尺上的刻度对应于对数函数。使用计算尺时，人们通过累加距离来进行乘法运算。计算尺上标记之间距离的逐渐减少与吉他琴颈上的情况相同。

尽管那个插图和描述很有说服力，但有些东西困扰着我。这似乎从根本上就是错误的，可我又无法确切指出问题所在。

用吉他琴枕做乘法

我知道我必须采取行动。首先，我得拿一把这样的吉他：

如果你的屏幕不够宽，无法显示整把吉他，你可以用触摸或鼠标水平拖动它来查看。

如果这把吉他真的能进行数字乘法，就需要给它加上一些数字标签。与《用音调计算》封面上的术语相反，吉他琴弦是悬挂在插图左侧的琴枕和右侧的琴桥之间。这些固定装置将琴弦固定，并控制琴弦在不按压任何琴枕时弹奏或拨动的有效长度。琴枕和琴桥中间是第12品，它将琴弦有效地一分为二，弹奏出的音高比空弦高一个八度。

可能不太容易看清，但在封面插图中，琴枕与计算尺上至关重要的C尺和D尺上的1对齐，而第12品与2对齐。让我们把这些数字转移到吉他上：

这两点之间有11个品，显然必须标记为1到2之间的12分之几：

这些分数中有许多可以用最简形式表示，这正是我在这里所做的：

下一步是把吉他锯成两半：

抱歉，但必须这么做。从上到下锯一个干净利落的切口。

现在可以把两半重新拼在一起，但可以自由地相对滑动其中一部分：

用手指或鼠标向右拖动吉他的上半部分来进行两个数字的乘法。（如果下半部分吉他无法在屏幕上显示，你可以继续水平滚动。）

例如，假设你想用7/6乘以3/2。移动吉他的上半部分，使上半部分的1与下半部分的7/6对齐：

现在在上半部分找到3/2。正下方下半部分对应的数字就是乘积：7/4，这确实是7/6乘以3/2的结果。

大多数其他数字组合需要在品之间做一些插值，这并不总是容易的，特别是因为我用分数而不是小数来标记品。但还有几组组合效果很好，比如5/4乘以4/3等于5/3，以及4/3乘以3/2等于2。

乍一看，这个实验似乎是成功的：吉他琴枕绝对可以进行乘法运算！

不，吉他琴枕不能做乘法

准备好接受对我胜利喜悦的无情嘲弄了吗？

大多数原声吉他有18或19个品，所以我不能用这些吉他来试验超过2的品乘法。但电吉他通常有更多的品，有时多达24个，这使得每根弦都有两个八度的音域。

我在乐器制造商Donner的网站上找到了一张很好的两八度电吉他图片。这是廉价的Donner DMT-100：

注意琴颈上的两组双点。这些标记了一个八度品和两个八度品。一个八度品将琴弦有效地分成两半，而两个八度品将剩余的长度再次分成两半。

琴枕和品的标签可以类似于原声吉他，但我应该如何标记两个八度品呢？

在《用音调计算》的封面插图中，琴枕与计算尺C尺和D尺上的1对齐，第12品与2对齐，但琴桥与4对齐：

虽然在第一个八度内，吉他品与计算尺的对应关系似乎很好，但第24品位于第12品和琴桥的中间，这大约对应于计算尺上的2.8。这意味着什么？琴桥对应计算尺上的4又意味着什么？计算尺上继续有5、6，一直到10，但吉他品不能超过琴桥。

尽管我有顾虑，但我别无选择，只能继续给电吉他品贴上标签，直到3：

现在是时候把这把吉他锯成两半了：

别哭。那是吉他的工作。

可以把两半重新拼在一起，做成另一个基于琴枕的乘法工具：

向右滑动上半部分进行乘法。现在很容易找到不成对的数字组合。例如，这里是3/2和2的乘法，结果应该是3：

当上半部分的1与下半部分的3/2对齐时，上半部分的2在下半部分3的某个距离之外。

为什么这种基于琴枕的计算尺在一个八度内似乎有效，而在两个八度内却不行？

恐怕这个话题值得深入探讨。

真正的计算尺如何工作（简述）

吉他琴枕似乎部分模仿了计算尺，但并没有完全做到。

对数的发明是为了简化多位数的乘法。今天我们理解对数是幂运算的逆运算。如果

$y = 10^{x}$ 那么十进制（以10为底）的y的对数定义如下：

$log \left(\right. y \left.\right) = x$ 众所周知，如果两个10的幂相乘，那么指数可以相加：

$10^{N} \times 10^{M} = 10^{N + M}$ 然后可以证明（正如我在《对数的失落艺术》第3章中费力演示的那样），两个数字的对数之和等于这两个数字乘积的对数：

$log \left(\right. N \times M \left.\right) = log \left(\right. N \left.\right) + log \left(\right. M \left.\right)$ 计算尺在一对滑动的尺子中有效地实现了这种计算。这些尺子是如何构造的，是《对数的失落艺术》第6章和第7章的内容。

这里开始制作一个10英寸的对数刻度尺。刻度上的每个数字都是根据刻度的总长度（本例中为10英寸）乘以该数字的十进制对数来定位的。刻度从1开始，因为1的对数是零：

在过去，这些对数是从书中查到的。你也可以选择使用计算器。大多数基于计算机的计算器必须切换到科学模式才能使用log键。手机计算器通常需要横屏显示。

你可以继续添加一些分数数字：

最终你会得到类似这样的东西：

每个刻度标记与对数刻度起点的距离等于10英寸乘以该刻度标记所代表的数字的对数。

把两个这样的对数尺面对面放在一起（正如威廉·奥特里德在1622年所做的那样），你就有了计算尺：

我还添加了一个方便的准线，你可以用蓝色圆圈拖动。我将这个计算尺初始化为显示1.56和2.72的乘法，但你可以拖动上尺和带准线的蓝色圆圈来试验其他乘法。你需要将上尺的1与下尺上你要乘的第一个数字对齐。然后将准线对准上尺上你要乘的第二个数字。准线显示下尺上的乘积，在这个例子中是4.24。

但它的功能远不止乘小数。乘以1.56和2.72基本上等同于乘以15,600和27.2，或者0.0156和0.000272。唯一的区别是结果中的小数点。

如果你不能通过向右移动上尺来乘这两个数字，就向左移动。将上尺的10与下尺的第一个数字对齐。这里是8乘以7：

在这种情况下，你必须将小数点右移以获得56的乘积。

你也可以用这个计算尺做除法：将下尺的被除数与上尺的除数对齐。商就在与尺子起点或终点对齐的下尺上。

这里没有魔法。你所做的只是加减尺子的长度。但因为尺子上的数字是数字的对数，所以这些数字实际上正在被相乘。这里有一个小演示，用我第一个例子中相同的两个数字来显示尺子的长度：

对于上尺和准线的每个位置，你可以看到上尺的两个宽度相加等于下尺的宽度。但这些宽度对应于刻度上数字的对数，所以这些数字实际上正在被相乘。

吉他琴枕的定位是否类似？这些位置能否以类似的方式量化，以揭示它们为何有时能乘法，有时又不能？

我们对音高的对数感知

吉他琴枕呈对数间距似乎很合理，因为我们对音乐音高的感知是对数的。

我这么说是什么意思？

声音是振动。振动的频率——振动体每秒往返的次数——以赫兹（缩写为Hz）为单位，以海因里希·鲁道夫·赫兹命名，他是第一个证明电磁波存在的人。（在20世纪60年代采用赫兹之前，振动速率是以每秒周期数或cps这种不言自明的单位来指定的。）

人类通常可以听到频率在20赫兹到20,000赫兹之间的声音，但这因人和年龄而异。随着年龄的增长，我们听到更高频率的能力往往会下降。

然而，我们并不是线性感知这些频率。换句话说，我们不会认为1000赫兹和2000赫兹之间的差异与2000赫兹和3000赫兹之间的差异相同。相反，我们感知1000赫兹和2000赫兹之间的差异与2000赫兹和4000赫兹之间的差异相同。

这种频率的加倍被感知为音高的变化，称为八度，它构成了全世界音乐的基础。作为一个简单的参考，唱出“彩虹之上”副歌的前两个音符。那是一个八度的跳跃。无论这首歌是由比约克还是巴里·怀特演唱，从“some”到“where”的频率都翻了一番。

正如我在尚未完成的《对数的失落艺术》第13章中详细讨论的那样，西方传统音乐演变成了每个八度12个音级。这架钢琴上的标记键展示了一个八度在钢琴大部分音域内的进展：

每两个连续的标记键都是频率的加倍，因此是一个八度的音程。中央C是标有 tiny dot 的键，所有标记的键都是A。我使用A是因为标准调音将中央C上方的A设为440赫兹。然后可以通过逐步加倍或减半440来计算所有其他A键的频率。这些不同的A键可以用下标数字作为八度音阶的科学音高名称来区分。这八个标记的键表示为A 0、A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6和A 7。

八度中的每个12个音级被称为半音。

是的，这些词毫无意义。“八度”这个词似乎暗示了某物的八个，而“半音”这个词似乎暗示了某物的一半。许多这样的术语起源于许多世纪以前，在当时是有意义的，但今天我们只能沿用它们。

在许多世纪中，这12个音符在八度内的调音方式经历了各种演变。（同样，《对数的失落艺术》第13章有更多细节。）但从16世纪末开始，一些音乐家和理论家开始主张每个半音音级都应该相同。这是一种被称为平均律的调音方式，它主导了今天的西方音乐，尽管并非没有异议。

220赫兹到440赫兹之间有12个相等的半音，440赫兹到880赫兹之间也有12个相等的半音，这意味着什么？这意味着半音不能是一个固定的赫兹数，而必须是一个乘法。半音必须是一个自乘12次等于2的数字，即与八度相关的频率加倍。这个数字通常表示为2的12次方根：

$= \sqrt[12]{2}$ 或2的1/12次幂：

$= 2^{\frac{1}{12}}$ 对我们今天来说，计算这个数字很容易。实际上，这也不对。对我们来说容易的是在计算器上输入那个表达式。例如，在Windows计算器中，这可以通过切换到科学模式，然后输入2、x y键、左括号、1键、除号（÷）键、12、右括号和等号（=）键来完成。

2的12次方根是一个无理数；没有精确值。计算器只能给出一个近似值，在这里我甚至做了更粗略的近似：

$= \sqrt[12]{2} \cong 1.059463...$ 如果你把这个数字自乘12次，你会得到大约2的结果。为了简单起见，在紧要关头你可以使用1.059或1.06作为更粗略的近似值。

假设你将钢琴键盘上所有的黑键和白键从左到右编号，从1（音符A 0）开始，到88（音符C 8）结束。音符A 4的键号是49，当钢琴按常规调音时，频率为440赫兹。从这个起点开始，你可以使用这个公式计算钢琴上任何键的频率：

$= 440 \times 2^{\left(\right. \frac{ - 49}{12} \left.\right)}$ 或者你也可以用对数来表达这种关系。但因为我们要处理的是2的幂，所以必须是二进制（以2为底）对数：

$= 49 + 12 \times log_{2} \left(\right. \frac{}{440} \left.\right)$ 这两个陈述是等价的。

我们感知钢琴的88个键是音高上相等的阶梯。然而，这些键号是频率的对数。这就是我断言我们对音高的感知是对数时的意思。

频率与弦长

钢琴、竖琴、小提琴和吉他都通过振动的琴弦发声。振动弦的频率取决于四个因素：

• 制造材料，
• 它的厚度，
• 它的张力，以及
• 它的长度。

乐器通常包含各种材料、厚度和长度的琴弦，琴弦通过调节张力来调音。但一旦特定的琴弦调好音，除了其长度外，其他一切保持不变。

吉他当然也是如此。对于任何特定的琴弦，频率完全由振动部分的弦长决定，这取决于琴弦被按在哪个品上。（嗯，这也不完全正确。当琴弦被按在品上时，其张力会略有增加，但让我们忽略这一点以保持理智。）

幸运的是，振动弦的频率与其长度之间的关系非常简单：它们成反比。弦越长，频率越低。将长度减半，频率加倍，音高跳跃一个八度。

吉他品位的设置

因此，吉他琴枕的位置必须设置成使每个连续的品将琴弦的频率提高1.059倍。因为频率与长度成反比，每个品必须有效地将琴弦的长度缩短为半音乘数的倒数。一种表达方式是（1/2）的1/12次方：

$= \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{\frac{1}{12}} \cong 0.943874...$ 我将使用0.944这个更粗略的近似值来简化这些计算。此外，我们假设从琴枕到琴桥的吉他弦长度为100厘米：

第一个品必须是这个长度的0.944倍，即距离琴桥94.4厘米，因此距离琴枕5.6厘米：

第二个品更复杂。它的位置必须使琴弦的有效长度为94.4乘以0.944，即89.1厘米。

你也可以通过将100厘米乘以0.944的平方来计算出89.1厘米。第二个品距离琴枕10.9厘米，或者说比第一个品低5.3厘米。品之间的间距已经在减小了。

这个过程继续下去。每个品必须将琴弦的长度减少到前一个品所对应长度的0.944倍：

那个84.1的长度是100乘以0.944的立方。再次：

品之间的空间继续逐渐减小。从第4品到第5品的距离是4.7厘米。

最终你会到达第12品，它将琴弦减少到原来长度的一半：

第十二品的位置是100厘米乘以0.944的十二次方，即距离琴桥50厘米，有效地将琴弦减少到其长度的一半。

你可以通过另外12个品来增加吉他的音域一个八度。

第24品将琴弦再次减半。

从品到琴桥的琴弦长度可以这样计算：

$= \times \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{\frac{fret number}{12}}$ 任何品距离琴枕的距离可以这样计算：

$= \times \left(\right. 1 - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{\frac{fret number}{12}} \left.\right)$ 琴枕的品号被假定为0，所以琴枕的品距也是0。第12品的品号是12，所以品距是弦长的一半。

构建基于琴枕的计算尺

请注意，在计算品位位置的公式推导中并没有涉及对数。然而，既然我有了这样一个公式，我就可以制作我自己的基于琴枕的计算尺，而无需再锯断任何吉他。我想我在开头就确定了，只有前八度的品似乎像传统的对数计算尺一样工作。包含第二个八度的品会让整个事情搞砸。

所以让我们取前八度的品，并按照我标记原声吉他的方式，用1到2之间的分数来标记它：

现在让我们以同样的方式制作另一把尺子，但刻度在上面而不是下面：

你可以把这两把尺子放在一起，用触摸或鼠标移动上面的尺子相对于下面的尺子：

你可以尝试几组不需要插值的乘法，比如7/6乘以3/2或5/4乘以4/3，现在你可能会注意到它并不精确。刻度标记并没有完全对齐。当笨拙地摆弄两半锯断的吉他时，这也许是可以原谅的，但如果吉他琴枕是按对数间距排列的，就不会发生这种情况。

我不能通过包含吉他琴枕的第二个八度来延长这些尺子。我们已经知道那是个灾难。然而，对数计算尺是自相似的。从2到4的计算尺部分与从4到8的部分相同，只是编号加倍了：

我甚至可以把刻度提高到10：

试试5/2乘以8/3，结果应该是20/3，但它就是对不齐。

那么这是真的还是幻想？

两个尺子刻度的故事

令人恼火的是，用吉他琴枕数学构建的计算尺似乎几乎和用对数构建的计算尺一样好用，但又不完全一样。

下面的图形不是计算尺。它不是交互式的。不要试图滑动任何东西。上面的尺子刻度是基于吉他琴枕位置的公式构建的，下面的是用对数构建的：

我把它拉长了，所以你不需要仔细看就能发现这是两个不同的刻度，它们只在1和2处重合。

超越这些刻度范围绘制两个函数的图形也很有启发性。之前我展示了一个计算品距离琴枕距离的公式：

$= \times \left(\right. 1 - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{\frac{fret number}{12}} \left.\right)$ 我想调整这个公式用于计算尺：每个刻度标记的距离基于与该标记相关的数字。该数字n与品号的关系如下：

$n = 1 + \frac{fret number}{12}$ 或者：

$fret number = 12 \times \left(\right. n - 1 \left.\right)$ 此外，因为从1到2的刻度是弦长的一半，让我们将弦长归一化为2，这样定位刻度标记的公式变为：

$tick distance = 2 - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{n - 2}$ 这将是图表中的红线。当n等于1（刻度的起点）时，刻度距离为0；当n等于2在刻度结束时，刻度距离为1。

从1到2的对数刻度上的刻度距离很简单：

$tick distance = log_{2} \left(\right. n \left.\right)$ 这是图表中的蓝线。同样，当n在刻度起点等于1时，刻度距离为0，当n等于2时，刻度距离为1。

虽然红色和蓝色线条在n等于1到2之间似乎重合，但这些绝对不是等效的函数！

事情是这样的：正如我被《用音调计算》封面上残酷骗人的插图所欺骗一样，我扭曲了对吉他琴枕的初始标记，使其范围从1到2。这暗示了某个函数，当然在这两个点上与对数重合，但在其他方面却截然不同。剩下的基本上都是巧合。

《对数的失落艺术》的主题之一是，我们自然和人造世界中的许多现象都可以用对数来解释。这包括音乐，但不包括吉他琴枕。

附录：确定琴枕位置的几何方法

早些时候我描述了确定吉他琴枕位置的理论数学。但吉他已经存在了数百年。在没有计算器和精密测量仪器的情况下，人们是如何确定琴枕位置的呢？例如，维米尔最后的作品之一《吉他手》（1672年）中的吉他，琴枕是如何定位的？

一种流行的方法是使用1581年在佛罗伦萨出版的一本书中提出的简单比例，书名为《古代与现代音乐对话》。

作者是文森佐·伽利莱，他可能出生于1520年代左右的佛罗伦萨。他年轻时学习鲁特琴，后来成为歌手、教师和作曲家。他的一些音乐已被录制：专辑《平均律鲁特琴》收录了他的一些作品。他跟随乔塞弗·扎利诺学习音乐理论，后来反驳了扎利诺的一些理论。他的长子伽利略在父亲出版《对话录》时大约17岁，后来在天文学和自然哲学领域取得了一些声誉，并在1638年的《两种新科学》中也写到了音乐理论。

互联网档案馆有文森佐·伽利莱《对话录》1581年的原版；国际乐谱图书馆项目有1967年的重印本，北德克萨斯大学数字图书馆有一篇罗伯特·H·赫尔曼的博士论文，包含完整的英文翻译和大量评论。

以下是文森佐·伽利莱讨论如何计算鲁特琴琴枕位置的内容：

因此，我将整条线AB分成18份，并向高音部分（远离低音部分）移动，在第一份结束的地方，我放置第一个品。我再次将剩余的全部按相同数量的部分[即18]划分，从完全相同的带子开始，我在第二个下面放置第一个品。我现在继续按相同的顺序分配琴枕下剩余的空间，直到第十二个，这正好把我带到整个琴弦终止的一半。（第299-300页，括号中的短语由译者添加；对应于意大利原版的第49页）

文森佐·伽利莱建议使用18:17的比例来确定琴枕位置。这意味着半音乘数近似为：

$= \frac{18}{17} \cong 1.058824...$ 如果你将18/17自乘12次，结果不会是2。相反，你会得到1.985560，这已经非常接近了。

同样，用于计算琴枕位置的弦长缩减因子为：

$= \frac{17}{18} = 0.944444...$ 如果你将这个比率提高到12次方，它会略高于1/2：

$\left(\left(\right. \frac{17}{18} \left.\right)\right)^{12} \cong 0.50364...$ 但17/18的优势在于它是一个比率，而比率极其有用。

如果你研究从古希腊到文艺复兴时期的任何音乐理论论文，你会看到很多几何图形。当混合算术和几何时，比率是理想的，因为你不需要测量任何东西或涉及分数。这一切都是几何的。

文森佐·伽利莱并没有很好地解释18:17的比率在实践中如何使用，但这很容易开发出一种技术。假设你正在制作一把鲁特琴或吉他，或者你可能获得了一把无品吉他，你想给它加一些品。

第一步是拿一张大纸，画一条线段，对应于琴枕和琴桥之间的距离：

我们称之为弦线。把吉他放在一边，画一条长水平线，垂直于弦线并与它的底部对齐：

沿着那条水平线某处，画另一条较短的垂直线：

在那条较短的垂直线上，从下往上画18个均匀间隔的水平刻度标记：

这可以用传统的几何绘图工具——圆规和直尺来完成。这些水平刻度标记之间的距离无关紧要，只要它们均匀分布即可。如果你懒，甚至可以用一把18英寸的尺子来做标记。

现在画一条直线，从弦线的顶端到较短垂直线的最顶端刻度，并继续向下延伸到基线：

我在它与底部水平线相交的地方画了一个小点。从那个小点开始，画出通过第二个刻度标记的第二条对角线，并与弦线相交：

现在去掉那条带有刻度标记的较小垂直线。你不再需要它了：

我断言，任何从顶部对角线画到底部的垂直线都将被分成两部分：顶部（两条对角线之间）是总长度的1/18。底部（底部对角线以下）是总长度的17/18。

弦线就是这样一条垂直线。两条对角线将那条弦线分成两条对角线之间的1/18和底部对角线以下的17/18。第一个品放在底部对角线与弦线相交的地方：

要确定第二个品的位置，首先，从品向顶部对角线延伸一条水平线。这里用虚线表示：

你可以想象一条从虚线与顶部对角线相交的点向下画到底部的垂直线。这条线也被分成两部分。只画那条垂直线的一部分到第二条对角线。这也是一条虚线：

现在画一条水平线回到弦线：

那是第二个品的位置：

当你继续下去时，你会看到品之间的距离在缩小。这是因为每个连续的品都是前一个品之后剩余长度的17/18。这里是找到第三个品的方法：

这里是第四个：

继续下去，你会到达我特意加宽以强调的八度品：

继续下去，你可以再添加十二个品，最终到达两个八度品：

现在你有了一个用于为吉他安装品的模板，音域可达两个八度：

文森佐·伽利莱对18:17比率的倡导显然很有说服力。音乐学家詹姆斯·默里·巴伯在他的重要著作《调音与律制：历史概览》中报告说，发现“对18:17半音的引用跨越了两个半世纪”。换句话说，人们使用这个比率一直持续到19世纪。这就是为什么我假设维米尔画作中的吉他是用这种技术安装品的。

让我们看看它在实践中如何运作，或者至少在虚拟吉他中如何运作。

这里有两把“吉他”，每根六弦在顶部都标有音高。左边的吉他使用文森佐·伽利莱的18:17比率来确定品的位置。右边的使用2的12次方根进行计算。

在触摸屏上，你可以用手指拨动这两把吉他上的琴弦。否则，你需要按住鼠标按钮在琴弦上拖动。要弹奏与空弦相关的音符，请在琴枕附近（顶部）拨动琴弦。对于需要品的音符，在品正下方拨动琴弦。

一对圆点画在八度品和两个八度品的正上方。一些吉他上会有这些点来帮助音乐家定位。左下角的滑块是音量控制。

如果你有多点触控显示器，你可以同时拨动两根弦，也许是两把不同吉他上的同一根弦。在最顶部，频率将是相同的，但随着你向下移动品，频率会出现偏差，你可能会开始听到拍频。

使用文森佐·伽利莱18:17比率的吉他制造者很可能对品做了细微的调整，以便实现纯八度音程。

社区整体氛围偏轻松，带点调侃和延伸探讨，没有明显对立的分歧，大多围绕振动弦的计算能力、调音历史和相关趣闻展开补充。

认为振动弦具备图灵完备性

• 有用户直接提出振动弦是图灵完备的，属于简短的观点式论断，无更多展开（少数人）

调侃振动弦能否运行 Doom

• 用幽默方式延伸话题，问这些琴弦能不能跑 Doom，代表社区轻松玩梗的情绪（少数人） > 问题是这些琴格能不能跑 Doom（@FpUser）

认为文章质量不错但结尾不够满意

• 有读者认可文章整体内容，但觉得结尾没有充分收束，留有遗憾（少数人） > 很喜欢这篇文章，但不喜欢结尾那种戛然而止的感觉，不过内容还是很棒的（@karim79）

认为文章遗漏了滑音吉他相关内容

• 有用户指出文章里居然没有出现“滑音吉他”这个说法，有点出乎意料（少数人） > 很难相信这篇文章里居然没有提到“滑音吉他”这个词（@bgrainger）

认为古代琴格位置可通过听觉和自然调整逐步确定

• 有观点认为不需要计算器和精密测量，靠相对音高就能标记出各个音的位置，再补全半音即可（较多人） > 如果你有绝对音高，或者相对音高也够用，那只要在指板上每个听起来像全新全音的位置做标记，之后再听出半音位置也做标记就行（@pazimzadeh）
• 另有补充指出早期琴格是可移动的，用绳、木片或金属丝绑在琴颈上，可随时调整来适配不同音阶或合奏乐器，这种可移动的设计让调音知识能逐步积累，类似西塔琴现在的琴格设计，甚至可以用扎带临时做实验用琴格（较多人）

有价值的补充

• 有用户提到 FRACTRAN 这种基于分数运算的图灵完备语言，作为相关计算模型的冷知识补充
• 有用户分享了自己在网页上做的对数滑块项目，希望推动更多对数计算尺在网页端的应用，附上了演示地址和源码链接
• 有用户指出本文作者和《对数丢失的艺术》是同一人，并附上了相关站点和一年前的讨论链接
• 有用户分享了 2002 年史蒂夫·马丁的对谈视频，其中有一段正好聊到类似问题，还提到后来罗宾·威廉姆斯上台，以及自己带未婚妻看演出的轶事