安德烈·奥德日沃莱克的论文提出用指数减对数(EML)项可表达所有"初等函数"，但其定义的"初等"仅涵盖36个特定符号，与数学界通用的广义初等函数概念存在差异。作者认为该结果在限定定义下成立，但标题可能引起误解。

标题：并非所有初等函数都能用“指数减对数”表示

最近，安德烈·奥德兹沃克（Andrzej Odrzywołek）的论文《用单一运算符生成所有初等函数》在互联网上引发热议，被冠以"突破性"乃至"开创性"的评价，甚至有人建议以此重建计算机工程和机器学习的基础体系。该论文声称，由函数f(x,y)=exp(x)-ln(y)（作者称之为"EML项"）结合变量和常数e，足以表达所有初等函数，并展示了从加法到双曲三角函数的多种常数和函数的构造方法。

作者罗伯特·史密斯指出，这项成果确实精巧且发人深省。奥德兹沃克对"初等函数"的定义非常明确——其论文中的表1将"初等"限定为36个特定符号。在此定义框架下，只要接受作者对传统函数的一些修改（包括涉及无穷的算术运算），其定理是成立且巧妙的。

但问题在于，数学界对"初等函数"的标准定义要广泛得多。现代纯数学中（可追溯至19世纪），初等函数的定义已形成共识：始于有理函数，通过算术运算、复合、指数/对数运算以及多项式求根运算闭合的函数集合。而EML项虽然表现力丰富，却无法完全涵盖"多项式求根"这一关键操作。

通过科瓦斯基（Khovanskii）的拓扑伽罗瓦理论可以证明：由有理函数与exp、ln复合构建的函数具有可解的单值群。而通用五次方程根的解析分支具有不可解的单值群S₅，因此必然存在无法用EML项表示的标准初等函数。

史密斯强调，本文并非要否定奥德兹沃克的工作，而是希望阐明： 1. 数学家公认的"初等函数"定义（这对计算机科学尤为重要） 2. 运用拓扑伽罗瓦理论证明关于EML项的结论 3. 展示如何用该结论识别EML项无法表达的初等函数

（注：原文中关于绝对值函数示例的讨论已被作者删除，因其偏离了关于"初等"定义的核心议题）

以下是评论内容的总结，平衡呈现不同观点并保留关键引用：

1. 对博文目的的质疑

   • 评论1认为博文未明确说明目的，且对五次方程无闭式解的观点无新意："The author essentially says that the quintic has no closed form solution... It seems like he’s moving the goalposts."
   • 评论2指出文章缺乏数学原创性："Neither the present article, nor the original one has much mathematical originality... a rehash of Arnold’s proof."

2. 对术语和定义的讨论

   • 评论3希望更清晰地解释术语，并举例说明："I’d really like more details on the terminology... a specific example of a function, considered elementary, which is not representable by EML."
   • 评论4质疑"初等函数"包含多项式根的定义："this just seems like a bad definition of elementary functions, given the context."

3. 关于exp-minus-log（EML）的局限性

   • 评论5引用论文指出EML的局限性："exp-minus-log is similarly incomplete... we don’t even know whether many simple equations like exp(-x) = x have solutions in E."
   • 评论9认为EML的通用性并不意外："given enough arguments I can represent any arbitrary set of n+1 functions... a sort of 'selector'."

4. 对"初等函数"定义的争议

   • 评论8指出不同领域对"初等函数"的定义不同："If you take a real analysis class, the elementary functions will be defined exactly as the author... but I’m a physicist."
   • 评论11提到绝对值为非初等函数："the abs (absolute value) function is non-elementary. I wonder if exp-minus-log can represent it."

5. 其他相关讨论

   • 评论12尝试将欧几里得几何与量词消除定理联系："I’ve tried to connect Euclid’s Elements with quantifier elimination theorems."
   • 评论14认为初等函数的选择具有任意性："What functions are considered elementary was always going to be arbitrary... not the worst choice."