作者在过去的几个月中发表了一系列关于趣味数学的文章，旨在揭示深层次的数学真理。本文则介绍了一篇鲜为人知的论文，探讨了拓扑学中的连续性概念，指出拓扑学家不关心空间中的距离，而是关注局部连续性，因此他们常使用没有距离定义的简化几何空间。

标题：我们拥有最佳的π值

在过去的几个月里，我发表了几篇关于趣味数学的文章，旨在让它们既易懂又有趣，但我的目标通常是揭示更深层次的数学真理。例如，讨论0.999… = 1时，我借此机会强调了实数的一些微妙性质以及无穷的不同含义。

今天，我没有特定的议程。这篇文章的存在是因为我发现了一篇有些晦涩的论文，其中提出了一些出人意料且酷炫的内容。它感觉很深刻，但可能并非如此……如果你继续阅读，它也会在你的脑海中挥之不去。

拓扑学家是一个奇特的群体：他们研究几何形状的连续性，而不关心外观。对他们来说，连续的变形——如拉伸和挤压——无关紧要。一个甜甜圈和一个吸管是相同的，因为你可以通过捏合将一个变成另一个，而无需制造或修复任何孔洞。

从根本上说，拓扑学家不关心空间中两点之间的距离：重要的是局部连续性的概念。因此，他们通常选择依赖于简化的几何空间，其中距离的概念——也称为度量——根本没有定义。

然而，如果你不是拓扑学家，你可能会喜欢能够测量事物。在标准的二维欧几里得几何中，如果我们有两个点，它们在水平方向上相距x，在垂直方向上相距y，那么它们之间的直线距离可以计算为：

构建非欧几里得空间的最常见方法之一是以某种方式改变空间的度量。许多软件工程师熟悉的一个例子是出租车度量，也称为曼哈顿距离。它之所以得名，是因为它类似于出租车在矩形街道网格中行驶，按行驶的英里数收费。

在出租车宇宙中，两点之间的距离是每个轴上绝对距离的简单总和：d 出租车 = |x| + |y|。如果我们再看一下之前的情况——d = √(x² + y²)——很容易以类似的方式表达出租车方程：

如果我们看这两个公式——欧几里得和出租车——很明显我们可以将其推广到一系列相关的度量空间：

再次，n = 1 的情况是出租车宇宙；n = 2 得到标准的欧几里得空间。中间有一些未命名的几何，但如果n 接近无穷大，我们得到所谓的切比雪夫距离。在这种情况下，x 和y 之间的微小差异会使其中一个指数值远小于另一个，因此距离只是：

在从d 1 到d∞ 的每个空间中，都有一个明确定义的“圆”概念：它是在所选度量下与某个中心点等距的点的集合。

为了理解这些圆可能是什么样子，我们可以注意到，如果y 为零，之前的距离公式总是简化为d n= |x|：

同样，如果x 为零，公式只是d n= |y|。这意味着在我们的任何空间中，如果我们试图绘制一个半径为r = 1 的n- 圆，点 (1, 0)、(0, -1)、(-1, 0) 和 (0, 1) 将是形状的一部分：

对于出租车度量（d 1），从 (0, 0) 的距离是x 和y 坐标的简单总和，因此半径为r 的圆只是满足条件|x| + |y| = r 的点的集合。这包括 (0.9, 0.1)、(0.8, 0.2)、(0.7, 0.3) 等。实际上，圆的每个象限只是一个 ±45° 的对角线：

对于更高阶的n- 圆，构成“圆”的(x, y) 点的约束是：

以下插图显示了为n = 1.5、2、3 和 5 计算的示例：

早些时候，我们还提到，当n 接近无穷大时，我们得到了所谓的切比雪夫距离，d∞ = max(|x|, |y|)。这个 ∞-圆是所有点的集合，其中一个坐标等于 ±r, 而另一个坐标保持在 [-r, r] 内：

这引出了一个有趣的问题：π 的值——即圆的周长与直径的比率——在这些非标准空间中绘制的“圆”中是否会改变？

让我们再看一下出租车场景：

这个形状的周长是多少？很容易说每个象限只是 1×1 正方形的对角线（= √2），所以周长是 4·√2。圆的直径是2·r =2。因此，出租车π（π 1）的值必须是 4·√2/2 ≈ 2.828。

除了……这是一个类别错误。我们试图通过使用欧几里得长度定义来测量在非欧几里得空间中绘制的圆的周长。在出租车空间中，1×1 正方形的对角线不是 √2；它是正方形边缘的简单总和。因此，如果我们保持一致，正确的答案是π 1 = 4·2/2 = 4。

有趣的是，∞-圆的情况也得到了相同的结果：每个象限由两条长度为 1 的直线段组成，因此结果是π∞= 8·1/2 = 4。

对于其他n- 圆，确切的答案需要一些非平凡的微积分，但我们可以通过数值近似来计算。为此，我们在一些恒定的角度间隔处求解圆方程，然后连接点，生成由直线段构成的形状。

例如，对于熟悉的n = 2 的情况，我们得到：

我们可以使用适当的度量计算这些线段的长度，然后除以直径（始终为 2）。使用上面显示的粗略 20 段近似，我们得到π 2≈ 3.129。一个更精确的模型，使用一千段，得到π 2≈ 3.14159。

其他几个计算值如下所示：

以下是π n 的图表，显示了更多的数据点：

因此，这是一个有些出乎意料的启示：在通过简单外推欧几里得几何构建的所有度量空间中，我们的π 是“最小”的π。我们生活在某种π-低谷中。

👉 致谢：在 2000 年的论文中，数学家 Charles Adler 和 James Tanton 提供了这一属性的正式证明，这也是这篇博客文章的灵感来源。

我们也可以做到！小于 1 的正指数产生凹的“圆”：

与图像对应的测量值是π 0.8≈ 4.7，π 0.5≈ 7.2，π 0.3≈ 11.9，因此趋势继续。在n = 0 时，我们之前的距离概念崩溃了。

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评论内容总结：

1. 对数学内容的兴趣与困惑

   • 一些读者对数学内容感到兴趣，尽管他们可能并不完全理解其深度。
   • 引用："I love these little mathematical snippets, where I (as a math noob) can't tell if the result is trivial or deeply profound"（评论1）
   • 引用："I really suck at math, especially when continuous functions are involved... but I just ate this article up"（评论4）

2. 对文章内容的质疑与补充

   • 部分读者提出了具体的问题，如为什么n=2时π最小，如何数值计算π，以及n→0时的情况。
   • 引用："Why exactly n = 2 minimizes π... It would be interesting to understand why this is the case mathematically"（评论2）
   • 引用："As for n=0, can't you prove that pi=inf for n=0 using limits?"（评论14）

3. 对π的定义与适用性的讨论

   • 有读者认为π仅适用于欧几里得几何，而在其他几何体系中讨论π可能并不准确。
   • 引用："Pi is a property of that shape in that geometry system... the 'pi's' that it discusses also aren't really pi's"（评论12）
   • 引用："Is π really a number or is it a computation?"（评论8）

4. 对欧几里得度量的特殊性的探讨

   • 有读者指出欧几里得度量的对称性和其在数学中的特殊地位，如奇异值分解和K-means算法中的应用。
   • 引用："A part of beauty of Euclidean metric is it's symmetry properties... the circle does not change if one tilts the coordinates"（评论6）
   • 引用："Squared Euclidean's properties are also the reason why the K-means algorithm is so simple"（评论6）

5. 对其他几何体系的兴趣

   • 一些读者对球面和双曲空间中的π值变化表示兴趣。
   • 引用："On a sphere Pi can be anything from 3.14... to 4, then decreasing to zero based on how big your circle is"（评论10）
   • 引用："Spheres and hyperbolic are also interesting"（评论10）

6. 相关资源的分享

   • 有读者分享了类似主题的文章和资源，如超椭圆和向量范数的相关内容。
   • 引用："A similar article, possibly was linked from Hacker News before"（评论7）
   • 引用："You can read more about the curves of Lamé plotted in this article"（评论13）

总结：评论中既有对数学内容的兴趣与困惑，也有对文章具体内容的质疑与补充。讨论涉及π的定义与适用性、欧几里得度量的特殊性，以及其他几何体系中的π值变化。同时，读者也分享了相关资源以进一步探讨该主题。